練習問題
３章 １次方程式
２．１次方程式の応用
(問1) 次の問題を、方程式を使って解きましょう。（数の問題）
(1) ある数を６倍して２を加え、その値をさらに２倍してから９をひくと５５になりました。ある数はいくつですか。
(2) ９からある数をひき、その値をさらに５倍してから３を加えると２８になりました。ある数はいくつですか。
(1) ある数を６倍して２を加え、その値をさらに２倍してから９をひくと５５になりました。ある数はいくつですか。
(2) ９からある数をひき、その値をさらに５倍してから３を加えると２８になりました。ある数はいくつですか。
(1) 求める数をｘとすると、
\(2\left( 6x+2 \right)-9=55 \)
\(12x+4-9=55\)
\(12x=60\)
\(x=5\)
(2) 求める数をｘとすると、
\(5\left( 9-x \right)+3=28\)
\(45-5x+3=28\)
\(-5x=-20\)
\(x=4\)
(問2) 次の問いに答えましょう。（個数と金額の問題）
(1) ５０円切手と８０円切手を、５０円切手を８０円切手より８枚多く買ったところ、代金の合計は１０５０円となりました。５０円切手と８０円切手をそれぞれ何枚買いましたか。
(2) 現在、Ａ君の貯金額は５１００円、Ｂさんの貯金額は２９００円です。毎月Ａ君が７００円ずつ、Ｂさんが３００円ずつ貯金していくとすると、Ａ君の貯金額がＢさんの貯金額の２倍になったときのＡ君の貯金額はいくらですか。
(1) ５０円切手と８０円切手を、５０円切手を８０円切手より８枚多く買ったところ、代金の合計は１０５０円となりました。５０円切手と８０円切手をそれぞれ何枚買いましたか。
(2) 現在、Ａ君の貯金額は５１００円、Ｂさんの貯金額は２９００円です。毎月Ａ君が７００円ずつ、Ｂさんが３００円ずつ貯金していくとすると、Ａ君の貯金額がＢさんの貯金額の２倍になったときのＡ君の貯金額はいくらですか。
(1) ５０円切手をｘ枚とすると、８０円切手の枚数は（ｘ−８）枚となります。
\(50x+80\left( x-8 \right)=1050 \)
\(50x+80x-640=1050\)
\(130x=1690\)
\(x=13\)
答え 50円切手を13枚、80円切手を5枚
(2) ｘか月後に、Ａ君の貯金額がＢさんの貯金額の２倍になったとすると、
ｘか月後のＡくんの貯金額は \(\left( 5100+700x \right) \) 円
ｘか月後のＢさんの貯金額は \(\left( 2900+300x \right) \) 円
となるから、
\(5100+700x=2\left( 2900+300x \right) \)
\(5100+700x=5800+600x\)
\(100x=700\)
\(x=7\)
ゆえに、７か月後のＡ君の貯金額は、
\(5100+700\times 7=10000\) （円）
答え 10000円
(問3) 次の問いに答えましょう。（過不足の問題）
(1) 何人かの子どもにリンゴを６個ずつ渡すと２個余り、７個ずつ渡そうとすると９個不足します。子どもの人数とリンゴの個数を答えましょう。
(2) 講堂の長いすに、生徒が１脚につき５人ずつ座ると、１８人座れなくなります。また、１脚につき６人ずつ座ると、最後の長いすには３人座り、長いすは９脚余ります。生徒の人数は何人ですか。
(1) 何人かの子どもにリンゴを６個ずつ渡すと２個余り、７個ずつ渡そうとすると９個不足します。子どもの人数とリンゴの個数を答えましょう。
(2) 講堂の長いすに、生徒が１脚につき５人ずつ座ると、１８人座れなくなります。また、１脚につき６人ずつ座ると、最後の長いすには３人座り、長いすは９脚余ります。生徒の人数は何人ですか。
(1) 子どもの人数をｘ人とすると、
\( 6x+2=7x-9 \)
\( x=11 \)
答え 11人
(2) 長いすの数をｘ脚とすると
\( 5x+18=6\left( x-10 \right)+3 \)
\( 5x+18=6x-60+3 \)
\( x=75 \)
生徒の数は\( 5\times 75+18=393 \)
答え 393人
(問4) 次の問いに答えましょう。（道のり・時間・速さの問題）
(1) 午前７時３０分に２ｋｍ離れた学校へ弟が出発し、５分後に兄が走って出発しました。弟が歩く速さが分速９０ｍ、兄が走る速さが分速１２０ｍのとき、兄が弟に追いつく時刻は何時何分ですか。
(2) Ａ君とＢ君の家は６ｋｍ離れています。Ａ君は午後２時にＢ君は午後２時１２分に家を出発しお互いの家に向かって自転車で出発しました。Ａ君が分速２００ｍ、Ｂ君が分速２５０ｍで走るとき、２人が出会う時刻は何時何分ですか。
(1) 午前７時３０分に２ｋｍ離れた学校へ弟が出発し、５分後に兄が走って出発しました。弟が歩く速さが分速９０ｍ、兄が走る速さが分速１２０ｍのとき、兄が弟に追いつく時刻は何時何分ですか。
(2) Ａ君とＢ君の家は６ｋｍ離れています。Ａ君は午後２時にＢ君は午後２時１２分に家を出発しお互いの家に向かって自転車で出発しました。Ａ君が分速２００ｍ、Ｂ君が分速２５０ｍで走るとき、２人が出会う時刻は何時何分ですか。
(1) 弟が出発したｘ分後に兄が追いつくとすると
\( 90x=120\left( x-5 \right) \)
式を簡単にするために両辺を９０と１２０の最大公約数の３０で割ると、
\( 3x=4\left( x-5 \right) \)
\( 3x=4x-20 \)
\( x=20 \)
このとき２人の進んだ距離は分速９０ｍ×２０分＝１８００ｍ
よって弟が学校に着くまでに、兄は追いつくので、これは問題に適している。
解答は午前７時３０分に２０分を足して、７時５０分となります。
答え ７時５０分
(2) Ａ君が出発したｘ分後に２人が出会うとすると、
\( 200x+250\left( x-12 \right)=6000 \)
\( 4x+5\left( x-4 \right)=120 \)
\( 9x-60=120 \)
\( 9x=180 \)
\( x=20 \)
解答は午後２時００分に２０分を足して、午後２時２０分となります。
答え 午後２時２０分
(問5) 次の問いに答えましょう。（濃度の問題）
(1) ９％の食塩水が５００ｇあります。この食塩水に水を加えて５％の食塩水を作るには、水を何ｇ加えればよいですか。
(2) ４％の食塩水が１０００ｇあります。この食塩水から水を蒸発させて５％の食塩水を作るには、水を何ｇ蒸発させればよいですか。
(3) １０％の食塩水が１７０ｇあります。この食塩水に食塩を加えて１５％の食塩水を作るには、食塩を何ｇ加えればよいですか。
(1) ９％の食塩水が５００ｇあります。この食塩水に水を加えて５％の食塩水を作るには、水を何ｇ加えればよいですか。
(2) ４％の食塩水が１０００ｇあります。この食塩水から水を蒸発させて５％の食塩水を作るには、水を何ｇ蒸発させればよいですか。
(3) １０％の食塩水が１７０ｇあります。この食塩水に食塩を加えて１５％の食塩水を作るには、食塩を何ｇ加えればよいですか。
(1) ９％の食塩水５００ｇに含まれる食塩の量は\(500\times \dfrac {9} {100} =45\) ［ｇ］
水をｘｇ加えるとすると、
\( \left( 500+x \right)\times \dfrac {5} {100} =45 \)
\( 5\left( 500+x \right)=4500 \)
\( 500+x=900 \)
\( x=400 \)
答え ４００ｇ
(2) ４％の食塩水１０００ｇに含まれる食塩の量は\( 1000\times \dfrac {4} {100} =40 \) ［ｇ］
\( \)
水をｘｇ蒸発させるとすると、
\( \left( 1000-x \right)\times \dfrac {5} {100} =40 \)
\( 5\left( 1000-x \right)=4000 \)
\( 1000-x=800 \)
\( x=200 \)
答え ２００ｇ
(3) １０％の食塩水１７０ｇに含まれる食塩の量は\(170\times \dfrac {10} {100} =17 \) ［ｇ］
食塩をｘｇ加えるとすると、
\( \left( 170+x \right)\times \dfrac {15} {100} =17+x \)
\( 15\left( 170+x \right)=100\left( 17+x \right) \)
\( 3\left( 170+x \right)=20\left( 17+x \right) \)
\( 510+3x=340+20x \)
\( 17x=170 \)
\( x=10 \)
答え １０ｇ
(問6) 次の問いに答えましょう。（平均の問題）
(1) あるクラスでは、男子２０人の平均身長は、女子１６人の平均身長より２．７ｃｍ高く、３６人全員の平均身長は１４３．２ｃｍです。男子２０人の平均身長は何ｃｍですか。
(2) 数学の試験で、Ａ組の生徒３０人の平均点は８５点、Ｂ組の生徒３６人の平均点は８７点、Ｃ組の生徒の平均点も８７点でした。Ａ組からＣ組を合わせた平均点は８６．４点でした。Ｃ組の生徒数は何人ですか。
(1) あるクラスでは、男子２０人の平均身長は、女子１６人の平均身長より２．７ｃｍ高く、３６人全員の平均身長は１４３．２ｃｍです。男子２０人の平均身長は何ｃｍですか。
(2) 数学の試験で、Ａ組の生徒３０人の平均点は８５点、Ｂ組の生徒３６人の平均点は８７点、Ｃ組の生徒の平均点も８７点でした。Ａ組からＣ組を合わせた平均点は８６．４点でした。Ｃ組の生徒数は何人ですか。
(1) 男子の平均身長をｘｃｍとすると、女子の平均身長は（ｘ−２．７）ｃｍとなります。
男子の身長の合計は２０ｘｃｍ
女子の身長の合計は１６（ｘ−２．７）ｃｍ
と表すことができます。
よって、
\( 20x+16\left( x-2.7 \right)=143.2\times 36 \)
\( 20x+16x-43.2=5155.2 \)
\( 36x=5198.4 \)
\( x=144.4 \)
答え １４４．４ｃｍ
(2) Ｃ組の生徒数をｘ人とします。
Ａ組の合計点は（８５×３０）点、
Ｂ組の合計点は（８７×３６）点、
Ｃ組の合計点は（８７×ｘ）点
と表すことができます。
よって、
\(85\times 30+87\times 36+87\times x=86.4\times \left( 30+36+x \right) \)
\( 2550+3132+87x=5702.4+86.4x \)
\( 0.6x=20.4 \)
\( x=34 \)
答え ３４人
(問7) 次の問いに答えましょう。（年齢の問題）
(1) 現在、母親の年齢は３９歳、子どもの年齢は１５歳です。母親の年齢が子どもの年齢の４倍であるのはいつですか。
(2) 現在、父親の年齢は５２歳、兄の年齢は１４歳、妹の年齢は１０歳です。父親の年齢が子どもの年齢の和の３倍であるのはいつですか。
(1) 現在、母親の年齢は３９歳、子どもの年齢は１５歳です。母親の年齢が子どもの年齢の４倍であるのはいつですか。
(2) 現在、父親の年齢は５２歳、兄の年齢は１４歳、妹の年齢は１０歳です。父親の年齢が子どもの年齢の和の３倍であるのはいつですか。
(1) ｘ年後に、母親の年齢が子どもの年齢の４倍であるとします。
ｘ年後の母親の年齢は（３９＋ｘ）歳、子どもの年齢は（１５＋ｘ）歳なので、
\( 39+x=4\left( 15+x \right) \)
\( 39+x=60+4x \)
\( 3x=-21 \)
\( x=-7 \)
−７、つまり７年前だと、母親が３２歳、子どもが８歳です。
この値は問題に適しています。
答え ７年前
(2) ｘ年後に、父親の年齢が子どもの年齢の和の３倍であるとします。
ｘ年後の３人の年齢は、
父（５２＋ｘ）歳、 兄（１４＋ｘ）歳、 妹（１０＋ｘ）歳となるので、
\( 52+x=3\{ \left( 14+x \right) + \left( 10+x \right) \} \)
\( 52+x=3\left( 2x+24 \right) \)
\( 52+x=6x+72 \)
\( 5x=-20 \)
\( x=-4 \)
−４、つまり４年前だと、父親が４８歳、兄が１０歳、妹が６歳です。
この値は問題に適しています。
答え ４年前
