練習問題
4章 比例と反比例
2.反比例とそのグラフ
(問1) 次の表では、yはxに反比例しています。表の空欄を部分を埋めましょう。
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 12 |
y | 24 | 12 | 6 |
(2)
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
y | −12 | −6 | −2 |
(3)
x | −8 | −4 | −2 | 1 | 2 |
y | −1 | −4 | 8 |
(4)
x | −4 | −2 | 4 | 8 | 20 |
y | 10 | −10 | −2 |
(1)
x 1 2 3 4 12 y 24 12 8 6 2
(2)
x 1 2 3 4 6 y −12 −6 −4 −3 −2
(3)
x −8 −4 −2 1 2 y −1 −2 −4 8 4
(4)
x −4 −2 4 8 20 y 10 20 −10 −5 −2
(問2) 次の式のうち、yがxに反比例するものを選びましょう。
①\(y=\dfrac {7} {x} \) ②\(y=-\dfrac {9} {x} \dfrac {} {} \) ③\(y=\dfrac {x} {5} \)
④\(xy=6\) ⑤\(y=\dfrac {1} {x} +1\) ⑥\(y=\dfrac {1} {x-1} \)
⑦\(\dfrac {y} {x} =-8\) ⑧\(1=\dfrac {2} {xy} \) ⑨\(x=\dfrac {4} {y} \)
①\(y=\dfrac {7} {x} \) ②\(y=-\dfrac {9} {x} \dfrac {} {} \) ③\(y=\dfrac {x} {5} \)
④\(xy=6\) ⑤\(y=\dfrac {1} {x} +1\) ⑥\(y=\dfrac {1} {x-1} \)
⑦\(\dfrac {y} {x} =-8\) ⑧\(1=\dfrac {2} {xy} \) ⑨\(x=\dfrac {4} {y} \)
\(y=\dfrac {a} {x} \) (\(a\) は0でない定数 )と表されるときyはxに反比例します。
①\(y=\dfrac {7} {x} \) 反比例の式です
②\(y=-\dfrac {9} {x} \) 反比例の式です
③\(y=\dfrac {x} {5} \) 比例の式で、反比例の式ではありません
④\(xy=6\) 式を変形すると\(y=\dfrac {6} {x} \) となり反比例の式です
⑤\(y=\dfrac {1} {x} +1\) 反比例の式ではありません
⑥\(y=\dfrac {1} {x-1} \) 反比例の式ではありません
⑦\(\dfrac {y} {x} =8\) 式を変形すると\(y=-8x\) となり、比例の式です
⑧\(1=\dfrac {2} {xy} \) 式を変形すると\(y=\dfrac {2} {x} \) となり、反比例の式です
⑨\(x=\dfrac {4} {y} \) 式を変形すると\(y=\dfrac {4} {x} \) となり、反比例の式です
答え ①,②,④,⑧,⑨
(問3) yがxに反比例することを示しましょう。また、そのときの比例定数を示しましょう
(1) 面積が12\(cm^2\) である長方形の横の長さをxcm、縦の長さをycmとする
(2) 10kmの道のりを、時速xkmで進んだときにかかる時間をy時間とする
(3) 150cmのロープをx等分したときの1本の長さをycmとする
(4) 60ℓ入る水槽に、毎分xℓ水を入れたとき、いっぱいになるまでy分かかるとする
(1) 面積が12\(cm^2\) である長方形の横の長さをxcm、縦の長さをycmとする
(2) 10kmの道のりを、時速xkmで進んだときにかかる時間をy時間とする
(3) 150cmのロープをx等分したときの1本の長さをycmとする
(4) 60ℓ入る水槽に、毎分xℓ水を入れたとき、いっぱいになるまでy分かかるとする
(1)\(xy=12\) なので、\(y=\dfrac {12} {x} \)
よってyはxに反比例する。
比例定数は12
(2)\(xy=10\) なので、\(y=\dfrac {10} {x} \)
よってyはxに反比例する。
比例定数は10
(3)\(xy=150\) なので、\(y=\dfrac {150} {x} \)
よってyはxに反比例する。
比例定数は150
(4)\(xy=60\) なので、\(y=\dfrac {60} {x} \)
よってyはxに反比例する。
比例定数は60
(問4) yがxに反比例し、次の条件を満たすとき、yをxの式で表しましょう。
(1)\(x=4\) のとき\(y=3\)
(2)\(x=-5\) のとき\(y=6\)
(3)\(x=-6\) のとき\(y=3\)
(4)\(x=3\) のとき\(y=-12\)
(1)\(x=4\) のとき\(y=3\)
(2)\(x=-5\) のとき\(y=6\)
(3)\(x=-6\) のとき\(y=3\)
(4)\(x=3\) のとき\(y=-12\)
比例定数を\(a\) とし、\(y=\dfrac {a} {x} \) とおき、xとyを代入して解いていきます。
(1)\(x=4\) のとき\(y=3\) なので
\(3=\dfrac {a} {4} \) より\(a=12\)
\(y=\dfrac {12} {x} \)
(2)\(x=-5\) のとき\(y=6\) なので
\(6=-\dfrac {a} {5} \) より\(a=-30\)
\(y=-\dfrac {30} {x} \)
(3)\(x=-6\) のとき\(y=3\) なので
\(3=-\dfrac {a} {6} \) より\(a=-18\)
\(y=-\dfrac {18} {x} \)
(4)\(x=3\) のとき\(y=-12\) なので
\(-12=\dfrac {a} {3} \) より\(a=-36\)
\(y=-\dfrac {36} {x} \)
(問5) 次の問題に答えましょう。
60人で作業をすると、ちょうど12時間で終了する仕事があります。
(1) この仕事をx人で作業すると、y時間で終了するとき、yをxの式で表しましょう。
(2) この仕事を90人で作業すると、何時間で終了しますか。
(3) この仕事を7時間30分で終了するためには、何人で作業すればいいですか。
60人で作業をすると、ちょうど12時間で終了する仕事があります。
(1) この仕事をx人で作業すると、y時間で終了するとき、yをxの式で表しましょう。
(2) この仕事を90人で作業すると、何時間で終了しますか。
(3) この仕事を7時間30分で終了するためには、何人で作業すればいいですか。
(1) 比例定数を\(a\) とし、\(y=\dfrac {a} {x} \) とおき、xとyを代入して解いていきます。
\(x=60\) のとき\(y=12\) なので
\(12=\dfrac {a} {60} \) より\(a=720\)
\(y=\dfrac {720} {x} \)
(2)\(y=\dfrac {720} {x} \) に\(x=90\) を代入して、
\(y=\dfrac {720} {90} =8\)
(答)8時間
(3)\(y=\dfrac {720} {x} \) に\(y=7.5\) を代入して、
\(7.5=\dfrac {720} {x} =8\)
ゆえに\(x=\dfrac {720} {7.5} =96\)
(答)96人
(問6) 次の問題に答えましょう。
1人に5個ずつ分けると、ちょうど12人に分けられるケーキがあります。
(1) このケーキを1人にx個ずつ分けると、ちょうどy人に分けられるとして、yをxの式で表しましょう。
(2) 1人に4個ずつ分けると、何人に分けることができますか。
1人に5個ずつ分けると、ちょうど12人に分けられるケーキがあります。
(1) このケーキを1人にx個ずつ分けると、ちょうどy人に分けられるとして、yをxの式で表しましょう。
(2) 1人に4個ずつ分けると、何人に分けることができますか。
(1) ケーキの数は5×12=60 より全部で60個です。
よって\(xy=60\)
ゆえに\(y=\dfrac {60} {x} \)
(2)\(y=\dfrac {60} {x} \) に\(x=4\) を代入して、
\(y=\dfrac {60} {4} =15\)
(答)15人
(問7) 次の問題に答えましょう。
A地点からB地点まで時速40kmで進むと3時間かかります。
(1) A地点からB地点まで時速xkmで進むとy時間かかるとして、yをxの式で表しましょう。
(2) 時速50kmで進むと、A地点からB地点までどれだけの時間がかかるでしょうか。
(3) A地点からB地点まで6時間で到達するためには、時速何kmで進めばよいですか。
A地点からB地点まで時速40kmで進むと3時間かかります。
(1) A地点からB地点まで時速xkmで進むとy時間かかるとして、yをxの式で表しましょう。
(2) 時速50kmで進むと、A地点からB地点までどれだけの時間がかかるでしょうか。
(3) A地点からB地点まで6時間で到達するためには、時速何kmで進めばよいですか。
(1) A地点とB地点の距離は\(40\times 3=120\) より120kmです。
よって\(xy=120\)
ゆえに\(y=\dfrac {120} {x} \)
(2)\(x=50\) を\(y=\dfrac {120} {x} \) に代入して
\(y=\dfrac {120} {50} =\dfrac {12} {5} \)
(答)\(\dfrac {12} {5} \) 時間 (2時間24分)
(3)\(y=6\) を\(y=\dfrac {120} {x} \) に代入して
\(6=\dfrac {120} {x} \)
よって\(6x=120\)
ゆえに\(x=20\)
(答)時速20km
(問8) 次の問題に答えましょう。
かみ合っている歯車AとBがあります。歯の数が20の歯車Aを5回転させると、歯の数がxの歯車Bがy回転するとします。
(1) yをxの式で表しましょう。
(2) 歯車Bの歯の数が10のとき、歯車Aが5回転する間に歯車Bは何回転しますか。
かみ合っている歯車AとBがあります。歯の数が20の歯車Aを5回転させると、歯の数がxの歯車Bがy回転するとします。
(1) yをxの式で表しましょう。
(2) 歯車Bの歯の数が10のとき、歯車Aが5回転する間に歯車Bは何回転しますか。
(1) 2つの歯車の歯の数と回転数の積は等しいので
\(xy=20\times 5\)
よって\(xy=100\)
ゆえに\(y=\dfrac {100} {x} \)
(2)\(y=\dfrac {100} {x} \) に\(x=10\) を代入すると
\(y=\dfrac {100} {10} =10 \)
(答)10回転
(問9) 次の問題に答えましょう。
かみ合っている歯車AとBがあります。歯の数が60の歯車Aが毎秒7回転していて、歯の数がxである歯車Bが毎秒y回転しています。
(1) yをxの式で表しましょう。
(2) 歯車Aが35回転する間に、歯車Bは25回転しました。歯車Bの歯の数はいくつですか。
かみ合っている歯車AとBがあります。歯の数が60の歯車Aが毎秒7回転していて、歯の数がxである歯車Bが毎秒y回転しています。
(1) yをxの式で表しましょう。
(2) 歯車Aが35回転する間に、歯車Bは25回転しました。歯車Bの歯の数はいくつですか。
(1) 2つの歯車の歯の数と毎秒ごとの回転数の積が等しいので
\(xy=60\times 7\)
よって\(xy=420\)
ゆえに\(y=\dfrac {420} {x} \)
(2) 歯車Aが35回転するには、35÷7=5より5秒かかります。
このとき、歯車Bは25回転したので、25÷5=5より、毎秒5回転しています。
\(y=\dfrac {420} {x} \) に\(y=5\) を代入すると
\(5=\dfrac {420} {x} \)
ゆえに\(x=84 \)
(答)84個
(問10) 次の反比例の関係を表すグラフをかきましょう。
(1)\(y=\dfrac {4} {x} \)
(2)\(y=\dfrac {9} {x} \)
(3)\(y=-\dfrac {3} {x} \)
(4)\(y=-\dfrac {12} {x} \)
(5)\(y=-\dfrac {5} {x} \)
(1)\(y=\dfrac {4} {x} \)
(2)\(y=\dfrac {9} {x} \)
(3)\(y=-\dfrac {3} {x} \)
(4)\(y=-\dfrac {12} {x} \)
(5)\(y=-\dfrac {5} {x} \)
(1)\(y=\dfrac {4} {x} \)
(2)\(y=\dfrac {9} {x} \)
(3)\(y=-\dfrac {3} {x} \)
(4)\(y=-\dfrac {12} {x} \)
(5)\(y=-\dfrac {5} {x} \)
(問11) 次の図は反比例の関係を表すグラフです。それぞれ、yをxの式で表しましょう。
(1) 点(2,4)を通る。
(2) 点(−2,2)を通る。
(3) 点(−4,−3)を通る。
(4) 点(2,−3)を通る。
(5) 点(3,−3)を通る。
(1) 点(2,4)を通る。
(2) 点(−2,2)を通る。
(3) 点(−4,−3)を通る。
(4) 点(2,−3)を通る。
(5) 点(3,−3)を通る。
(1)\(y=\dfrac {a} {x} \) に\(x=2\) ,\(y=4\) を代入して、\(4=\dfrac {a} {2} \)
よって\(a=8\)
ゆえに\(y=\dfrac {8} {x} \)
(2)\(y=\dfrac {a} {x} \) に\(x=-2\) ,\(y=2\) を代入して、\(2=-\dfrac {a} {2} \)
よって\(a=-4\)
ゆえに\(y=-\dfrac {4} {x} \)
(3)\(y=\dfrac {a} {x} \) に\(x=-4\) ,\(y=-3\) を代入して、\(-3=-\dfrac {a} {4} \)
よって\(a=12\)
ゆえに\(y=\dfrac {12} {x} \)
(4)\(y=\dfrac {a} {x} \) に\(x=2\) ,\(y=-3\) を代入して、\(-3=\dfrac {a} {2} \)
よって\(a=-6\)
ゆえに\(y=-\dfrac {6} {x} \)
(5)\(y=\dfrac {a} {x} \) に\(x=3\) ,\(y=-3\) を代入して、\(-3=\dfrac {a} {3} \)
よって\(a=-9\)
ゆえに\(y=-\dfrac {9} {x} \)