練習問題

4章 比例と反比例

2.反比例とそのグラフ


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(問1) 次の表では、に反比例しています。表の空欄を部分を埋めましょう。
(1)
12
24 12

(2)
−12 −6 −2

(3)
−8 −4 −2
−1 −4

(4)
−4 −2 20
10 −10 −2



(1)
12
24 12

(2)
−12 −6 −4 −3 −2

(3)
−8 −4 −2
−1 −2 −4

(4)
−4 −2 20
10 20 −10 −5 −2



(問2) 次の式のうち、に反比例するものを選びましょう。
①\(y=\dfrac {7} {x} \)      ②\(y=-\dfrac {9} {x} \dfrac {} {} \)     ③\(y=\dfrac {x} {5} \)

④\(xy=6\)      ⑤\(y=\dfrac {1} {x} +1\)     ⑥\(y=\dfrac {1} {x-1} \)

⑦\(\dfrac {y} {x} =-8\)     ⑧\(1=\dfrac {2} {xy} \)      ⑨\(x=\dfrac {4} {y} \)



 \(y=\dfrac {a} {x} \)   (\(a\)  は0でない定数 )と表されるときに反比例します。

①\(y=\dfrac {7} {x} \)      反比例の式です
②\(y=-\dfrac {9} {x} \)     反比例の式です
③\(y=\dfrac {x} {5} \)      比例の式で、反比例の式ではありません
④\(xy=6\)      式を変形すると\(y=\dfrac {6} {x} \)  となり反比例の式です
⑤\(y=\dfrac {1} {x} +1\)    反比例の式ではありません
⑥\(y=\dfrac {1} {x-1} \)     反比例の式ではありません
⑦\(\dfrac {y} {x} =8\)      式を変形すると\(y=-8x\)  となり、比例の式です
⑧\(1=\dfrac {2} {xy} \)      式を変形すると\(y=\dfrac {2} {x} \)  となり、反比例の式です
⑨\(x=\dfrac {4} {y} \)      式を変形すると\(y=\dfrac {4} {x} \)  となり、反比例の式です

  答え ①,②,④,⑧,⑨


(問3) に反比例することを示しましょう。また、そのときの比例定数を示しましょう

(1) 面積が12\(cm^2\)  である長方形の横の長さをcm、縦の長さをcmとする

(2) 10kmの道のりを、時速kmで進んだときにかかる時間を時間とする

(3) 150cmのロープを等分したときの1本の長さをcmとする

(4) 60ℓ入る水槽に、毎分ℓ水を入れたとき、いっぱいになるまで分かかるとする


(1)\(xy=12\)  なので、\(y=\dfrac {12} {x} \) 
  よってに反比例する。
  比例定数は12

(2)\(xy=10\)  なので、\(y=\dfrac {10} {x} \) 
  よってに反比例する。
  比例定数は10

(3)\(xy=150\)  なので、\(y=\dfrac {150} {x} \) 
  よってに反比例する。
  比例定数は150

(4)\(xy=60\)  なので、\(y=\dfrac {60} {x} \) 
  よってに反比例する。
  比例定数は60


(問4) に反比例し、次の条件を満たすとき、の式で表しましょう。
(1)\(x=4\)  のとき\(y=3\)

(2)\(x=-5\)  のとき\(y=6\)

(3)\(x=-6\)  のとき\(y=3\)

(4)\(x=3\)  のとき\(y=-12\)


比例定数を\(a\)  とし、\(y=\dfrac {a} {x} \)  とおき、を代入して解いていきます。

(1)\(x=4\)  のとき\(y=3\)  なので
 \(3=\dfrac {a} {4} \)   より\(a=12\)
 \(y=\dfrac {12} {x} \)

(2)\(x=-5\)  のとき\(y=6\)  なので
 \(6=-\dfrac {a} {5} \)   より\(a=-30\)
 \(y=-\dfrac {30} {x} \)

(3)\(x=-6\)  のとき\(y=3\)  なので
 \(3=-\dfrac {a} {6} \)   より\(a=-18\)
 \(y=-\dfrac {18} {x} \)

(4)\(x=3\)  のとき\(y=-12\)  なので
 \(-12=\dfrac {a} {3} \)   より\(a=-36\)
 \(y=-\dfrac {36} {x} \)


(問5) 次の問題に答えましょう。
 60人で作業をすると、ちょうど12時間で終了する仕事があります。

(1) この仕事を人で作業すると、時間で終了するとき、の式で表しましょう。

(2) この仕事を90人で作業すると、何時間で終了しますか。

(3) この仕事を7時間30分で終了するためには、何人で作業すればいいですか。


(1) 比例定数を\(a\)  とし、\(y=\dfrac {a} {x} \)  とおき、を代入して解いていきます。
 \(x=60\)  のとき\(y=12\)  なので
 \(12=\dfrac {a} {60} \)   より\(a=720\)
 \(y=\dfrac {720} {x} \)

(2)\(y=\dfrac {720} {x} \)  に\(x=90\) を代入して、
 \(y=\dfrac {720} {90} =8\)
  (答)8時間

(3)\(y=\dfrac {720} {x} \)  に\(y=7.5\) を代入して、
 \(7.5=\dfrac {720} {x} =8\)
  ゆえに\(x=\dfrac {720} {7.5} =96\)
  (答)96人


(問6) 次の問題に答えましょう。
 1人に5個ずつ分けると、ちょうど12人に分けられるケーキがあります。

(1) このケーキを1人に個ずつ分けると、ちょうど人に分けられるとして、の式で表しましょう。

(2) 1人に4個ずつ分けると、何人に分けることができますか。


(1) ケーキの数は5×12=60 より全部で60個です。
  よって\(xy=60\)
  ゆえに\(y=\dfrac {60} {x} \)

(2)\(y=\dfrac {60} {x} \)  に\(x=4\)  を代入して、
 \(y=\dfrac {60} {4} =15\)
  (答)15人


(問7) 次の問題に答えましょう。
 A地点からB地点まで時速40kmで進むと3時間かかります。

(1) A地点からB地点まで時速kmで進むと時間かかるとして、の式で表しましょう。

(2) 時速50kmで進むと、A地点からB地点までどれだけの時間がかかるでしょうか。

(3) A地点からB地点まで6時間で到達するためには、時速何kmで進めばよいですか。


(1) A地点とB地点の距離は\(40\times 3=120\)  より120kmです。
  よって\(xy=120\)
  ゆえに\(y=\dfrac {120} {x} \)

(2)\(x=50\)  を\(y=\dfrac {120} {x} \)  に代入して
 \(y=\dfrac {120} {50} =\dfrac {12} {5} \)
  (答)\(\dfrac {12} {5} \)  時間 (2時間24分)

(3)\(y=6\)  を\(y=\dfrac {120} {x} \)  に代入して
 \(6=\dfrac {120} {x} \)
  よって\(6x=120\)
  ゆえに\(x=20\)
  (答)時速20km


(問8) 次の問題に答えましょう。
 かみ合っている歯車AとBがあります。歯の数が20の歯車Aを5回転させると、歯の数がの歯車Bが回転するとします。

(1) の式で表しましょう。

(2) 歯車Bの歯の数が10のとき、歯車Aが5回転する間に歯車Bは何回転しますか。


(1) 2つの歯車の歯の数と回転数の積は等しいので
 \(xy=20\times 5\)
  よって\(xy=100\)
  ゆえに\(y=\dfrac {100} {x} \)

(2)\(y=\dfrac {100} {x} \)  に\(x=10\)  を代入すると
 \(y=\dfrac {100} {10} =10 \)
  (答)10回転


(問9) 次の問題に答えましょう。
 かみ合っている歯車AとBがあります。歯の数が60の歯車Aが毎秒7回転していて、歯の数がである歯車Bが毎秒回転しています。

(1) の式で表しましょう。

(2) 歯車Aが35回転する間に、歯車Bは25回転しました。歯車Bの歯の数はいくつですか。


(1) 2つの歯車の歯の数と毎秒ごとの回転数の積が等しいので
 \(xy=60\times 7\)
  よって\(xy=420\)
  ゆえに\(y=\dfrac {420} {x} \)

(2) 歯車Aが35回転するには、35÷7=5より5秒かかります。
  このとき、歯車Bは25回転したので、25÷5=5より、毎秒5回転しています。
 \(y=\dfrac {420} {x} \)  に\(y=5\)  を代入すると
 \(5=\dfrac {420} {x} \)
  ゆえに\(x=84 \)
  (答)84個


(問10) 次の反比例の関係を表すグラフをかきましょう。
(1)\(y=\dfrac {4} {x} \)

(2)\(y=\dfrac {9} {x} \)

(3)\(y=-\dfrac {3} {x} \)

(4)\(y=-\dfrac {12} {x} \)

(5)\(y=-\dfrac {5} {x} \)


(1)\(y=\dfrac {4} {x} \)


(2)\(y=\dfrac {9} {x} \)


(3)\(y=-\dfrac {3} {x} \)


(4)\(y=-\dfrac {12} {x} \)


(5)\(y=-\dfrac {5} {x} \)



(問11) 次の図は反比例の関係を表すグラフです。それぞれ、の式で表しましょう。
(1) 点(2,4)を通る。


(2) 点(−2,2)を通る。


(3) 点(−4,−3)を通る。


(4) 点(2,−3)を通る。


(5) 点(3,−3)を通る。



(1)\(y=\dfrac {a} {x} \)  に\(x=2\) ,\(y=4\)  を代入して、\(4=\dfrac {a} {2} \)
  よって\(a=8\)
  ゆえに\(y=\dfrac {8} {x} \)

(2)\(y=\dfrac {a} {x} \)  に\(x=-2\) ,\(y=2\)  を代入して、\(2=-\dfrac {a} {2} \)
  よって\(a=-4\)
  ゆえに\(y=-\dfrac {4} {x} \)

(3)\(y=\dfrac {a} {x} \)  に\(x=-4\) ,\(y=-3\)  を代入して、\(-3=-\dfrac {a} {4} \)
  よって\(a=12\)
  ゆえに\(y=\dfrac {12} {x} \)

(4)\(y=\dfrac {a} {x} \)  に\(x=2\) ,\(y=-3\)  を代入して、\(-3=\dfrac {a} {2} \)
  よって\(a=-6\)
  ゆえに\(y=-\dfrac {6} {x} \)

(5)\(y=\dfrac {a} {x} \)  に\(x=3\) ,\(y=-3\)  を代入して、\(-3=\dfrac {a} {3} \)
  よって\(a=-9\)
  ゆえに\(y=-\dfrac {9} {x} \)



   






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