解説
1章 正の数と負の数
3.正の数・負の数の乗法と除法
【1】正の数、負の数のかけ算とわり算
①同符号の2つの数の積と商…絶対値の積、商に正の符号をつけます。
(+)×(+)→(+)
(−)×(−)→(+)
(+)÷(+)→(+)
(−)÷(−)→(+)
②異符号の2つの数の積と商…絶対値の積、商に負の符号をつけます。
(+)×(−)→(−)
(−)×(+)→(−)
(+)÷(−)→(−)
(−)÷(+)→(−)
【2】乗法の計算法則
①乗法の交換法則
○×□=□×○
②乗法の結合法則
( ○ × □ )× △ = ○ ×( □ × △ )
乗法の計算法則は、いくつかの数をかけるとき、かける順序や組み合わせを変えて計算しても同じ結果になることを表しています。
したがって、3つ以上の数の積は、かける順序や組み合わせを変えて計算することができます。
【3】3つ以上の数のかけ算
負の数が奇数個だと−となり、負の数が偶数個だと+となります。
【4】
同じ数を2個かけたものを2
例えば5×5を5の2乗といい、\(5^{2}\) と表します。
同じように6×6×6を6の3乗といい、\(6^{3}\) と表します。
このように同じ数をいくつかかけたものを、累乗といい、右上にかけた個数を小さく書きます。
※負の数の累乗は、\(\left( -4\right) ^{2}\) 、\(\left( -4\right) ^{3}\) のようにカッコをつけて表します。
これに対して\(-4^{2}\) は\(4^{2}\) に負の符号の−がついたものです。
つまり\(-\left( 4 ^{2} \right)\) という意味です。
〔例〕
(1)\(4^{3}\) =4×4×4=64
(2)\(\left( -4\right) ^{2}\) = (−4)×(−4)
= +(4×4)
=16
(3)\(-4^{2}\) = −(4×4)= −16
(4)\(\left( -4\right) ^{3}\) = (−4)×(−4)×(−4)
= −(4×4×4)
=−64
(5)\(-4^{3}\) = −(4×4×4)= −64
(6)\(-\left( -4\right) ^{3}\) = −(−64)= 64
【5】
2つの数の積が1になるとき、一方の数を他方の数の逆数といいます。
\(\dfrac {\square } {\Delta }\) ×\(\dfrac {\Delta } {\square }\) = 1 となるので、
\(\dfrac {\square } {\Delta }\) の逆数は\(\dfrac {\Delta } {\square }\) です。
なお0に何をかけても1にはならないので、0の逆数はありません。
〔例〕
7 ×\(\dfrac {1} {7}\) =1 ですから、7の逆数は\(\dfrac {1} {7}\) となります。
同様に\(\dfrac {1} {7}\) の逆数は7です。
\(\left( -\dfrac {2} {5} \right) \) ×\(\left( -\dfrac {5} {2} \right) \) =1 ですから、
\(-\dfrac {2} {5}\) の逆数は\(-\dfrac {5} {2}\) となります。
同様に\(-\dfrac {5} {2}\) の逆数は\(-\dfrac {2} {5}\) となります。
つまり逆数を求めたい場合、分子と分母を逆にする。もしくは逆数を求めたい数で1を割るとその数の逆数となります。
【6】逆数とわり算
正の数・負の数でわることは、その数の逆数をかけることと同じです。
○ ÷\(\dfrac {\Delta } {\square }\) = ○ ×\(\dfrac {\square } {\Delta }\)
〔例〕
(−30)÷(+6)=−5
↓
(−30) ×\(\left( +\dfrac {1} {6} \right) \) =−5
(+2) ÷\(\left( -\dfrac {1} {3} \right) \) =−6
↓
(+2)×(−3)=−6
このように逆数を利用して、除法(わり算)を乗法(かけ算)に直すことができます。
【7】帯分数を含む計算
かけ算・わり算に帯分数が含まれるときは、仮分数に直してから計算します。
〔例〕
\(\left( +\dfrac {5} {7} \right) \) ÷\(\left( -1\dfrac {2} {3} \right)\)
=\(\left( +\dfrac {5} {7} \right) \) ÷\(\left( -\dfrac {5} {3} \right)\)
=\(\left( +\dfrac {5} {7} \right) \) ×\(\left( -\dfrac {3} {5} \right)\)
=\(-\left( \dfrac {5} {7} \times \dfrac {3} {5} \right) \)
=\(-\dfrac {3} {7}\)
※答えが仮分数になった場合、帯分数に直す必要はありません。
真分数…分子が分母より小さい分数。
〔例〕\(\dfrac {1} {2}\) 、\(\dfrac {2} {3}\) 、\(\dfrac {4} {7}\)
仮分数…分子が分母より大きい、または分母と等しい分数。
〔例〕\(\dfrac {5} {2}\) 、\(\dfrac {4} {3}\) 、\(\dfrac {5} {5}\)
帯分数…整数部分と分数部分とでできている数。
〔例〕\(1\dfrac {3} {5}\) 、\(5\dfrac {4} {9}\) 、\(2\dfrac {5} {6}\)
【8】乗法(かけ算)と除法(わり算)の混じった計算
乗法(かけ算)と除法(わり算)の混じった計算では、逆数を利用して除法を乗法にしてから計算します。
また負の数の個数が偶数個の場合、答えの符号は+となり、奇数個の場合は−となります。
なお符号がついていない数は、+の符号が省略されていると考えましょう。
〔例〕
\(2\times \left( -5\right) \div \left( -8\right) \times \left( -4\right) \)
=\(-5\)
【9】累乗を含む乗法(かけ算)と除法(わり算)
累乗を含む乗法(かけ算)と除法(わり算)の計算では、まず累乗の計算をします。
そのあとは【8】のように計算していきます。
〔例〕
\(\left( -2^{3} \right) \times 3^{2} \div \left( -4\right) ^{2}\)
=\(-\dfrac {9} {2}\)