解説
３章 １次方程式
１．１次方程式の解法
【１】等式と方程式
３＋５＝８
２ｘ＋３ｘ＝５ｘ
４ａ−３＝５
のように、＝をふくむ式を
また、＝の左側を
そして、左辺と右辺を合わせて
たとえば、３ｘ＋２＝５という等式は、
ｘ＝１のとき、
３×１＋２＝５ と成り立ちます。
しかしｘ＝２やｘ＝３だと、この式は成り立ちません。
このように、ふくまれる文字がある値をとったとき成り立つ等式を
その方程式の解を求めることを、その方程式を解くといいます。
【２】等式の性質
Ａ＝Ｂのとき、等式は次のことが成り立ちます。
等式の両辺を同じ数でわっても、等式は成り立つ。
【３】
【２】の等式の性質を利用して、方程式を解いてみます。
\(2x-5=3\) …… ①
①の両辺に５をたします。
\(2x-5\) ＋5\(=3\) ＋5 …… ②
両辺を整理します。
\(2x=8\)
両辺を２でわります。
\(x=\dfrac {8} {2} \)
したがって
\(x=4\)
となります。
この解法の②の左辺に注目してみましょう。
\(2x-5\) ＋5\(=3\) ＋5 …… ②
左辺の−5と＋5だけ整理すると、
\(2x=3+5\) …… ②´
となります。
①と②´を比較してみると、①の左辺の−5が符号を変えて＋5となり、右辺に移っていることがわかります。
\(2x\) −5\(=3\) …… ①
\(2x=3\) ＋5 …… ②´
つまり、
等式の一方の辺にある項は、符号を変えるともう一方の辺に移動できます。
このことを移項といいます。
方程式を解く場合、移項して式を整理すると計算が簡単になります。
〔例〕
①４ｘ−１＝３を移項すると、
４ｘ＝３＋１
②ｙ＝−４ｙ−１０を移項すると、
ｙ＋４ｙ＝−１０
③５ａ＋３＝−５＋ａを移項すると、
５ａ−ａ＝−５−３
【４】１次方程式
文字を含む等式を方程式といいます。
文字を含む方程式の中で移項すると、
ａｘ＋ｂ＝０ ただし、ａ≠０
の形になるものを１次方程式といいます。
ちなみに
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０ ただし、ａ≠０ ……２次方程式
ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ＝０ ただし、ａ≠０ ……３次方程式
といいます。
つまり次数がいくつかで、１次方程式、２次方程式、…となります。（中学校では２次方程式までを学びます）
【５】１次方程式の解き方
１次方程式を解く基本的な手順は
①文字を含む項を左辺、数字だけの項を右辺に移項する。
②両辺を整理して、\(ax=b\)
③両辺を\(x\) の係数\(a\) でわり、\(x\) の値を求める。
④«検算»求めた解をもとの方程式に代入し、間違いないか確認する。
※ ③までで解法は終了ですが、④をやることでテストの点数はかなり違ってきます。必ず検算するクセをつけましょう。
〔例〕
\(6x+3=27\)
\(6x=27-3\) …… ①
\(6x=24\) …… ②
\(x=4\) …… ③
«検算» ６×４＋３＝２７ …… ④
（答）\(x=4\)
\(7x-3=3x+9\)
\(7x-3x=9+3\) …… ①
\(4x=12\) …… ②
\(x=3\) …… ③
«検算» ７×３−３＝３×３＋９ …… ④
（答）\(x=3\)
【６】いろいろな形の１次方程式
・カッコを含む方程式
カッコをはずしてから、【５】の手順で計算する。
〔例〕
\(x-5\left(x-5\right)=1\)
\(x-5x+25=1\)
\(x-5x=1-25\)
\(-4x=-24\)
\(x=6\)
«検算» ６−５（６−５）＝１
（答）\(x=6\)
・分数を含む方程式
分母の公倍数を両辺にかけて、分母をはらってから、【５】の手順で計算する。
〔例〕
\(\dfrac {x} {2} +\dfrac {x} {3} =5\)
両辺に２と３の公倍数の６をかけて、
\(3x+2x=30\)
\(5x=30\)
\(x=6\)
«検算»\(\dfrac {6} {2} +\dfrac {6} {3} =5\)
（答）\(x=6\)
・小数を含む方程式
両辺に１０や１００などをかけて、係数を整数にしてから、【５】の手順で計算する。
\(0.6x+2.3=-0.2x-0.9\)
\(\left(0.6x+2.3\right)\) ×10\(= \left(-0.2x-0.9\right)\) ×10
\(6x+23=-2x-9\)
\(6x+2x=-9-23\)
\(8x=-32\)
\(x=-4\)
«検算» ６×（−４）＋２３＝−２×（−４）−９
※もとの少数の式より、整数にした式で検算した方が簡単。
（答）\(x=-4\)
