解説

４章 比例と反比例

２．反比例とそのグラフ

【１】反比例
ｙ＝  ａ   ｘ    ａ≠０ （ａは定数を表す）
ｘとｙが上の式で表されるとき、ｙはｘに反比例するといいます。
このときａを比例定数といいます。（反比例定数とはいいません）

反比例の式ではｘの値が
２倍，３倍，４倍，…
になると、それにともないｙの値は、
  １   ２   倍，  １   ３   倍，  １   ４   倍，…となります。

逆にｘの値が
  １   ２   倍，  １   ３   倍，  １   ４   倍，…
になるとｙの値は、
２倍，３倍，４倍，…となります。

つまり積ｘｙの値は一定で、比例定数ａに一致します。
ｘｙ＝ａ 

例えば２つの変数ｘ，ｙの間にｘｙ＝８という関係が成り立つとき、
この式は、ｙ＝  ８   ｘ   と変形できるので、ｙはｘに反比例します。

【２】反比例のグラフ
座標平面上で、反比例の関係を表すグラフについて調べてみます。
例えばｙ＝  ６   ｘ   を満たすｘ，ｙの値の組（ｘ，ｙ）は、
（１，６），（２，３），（３，２），（６，１），
（−１，−６），（−２，−３），（−３，−２），（−６，−１）
などがあります。これらに対応する点を座標平面上に記入すると、
下の図のようになります。

ｙ＝  ６   ｘ   を満たす点をさらに記入していくと、下の図のような曲線になります。この曲線をｙ＝  ６   ｘ   のグラフといいます。


反比例の関係ｙ＝  ａ   ｘ   のグラフは、原点に関して対称な曲線です。
この曲線を双曲線といいます。

ａ＞０の場合


ａ＜０の場合

反比例の関係ｙ＝  ａ   ｘ   のグラフは、上の図のように、
ａ＞０のとき、ｘ，ｙは同符号で、第１象限と第３象限にあります。
ａ＜０のとき、ｘ，ｙは異符号で、第２象限と第４象限にあります。

【３】反比例の表
家から学校までの道のりは１２００ｍです。家を出発して一定の速さで学校に向かいます。
例えば分速８０ｍで歩くと、到着するまでに１５分かかります。
分速６０ｍで歩くと、２０分かかります。
分速をｘｍ、到着するまでの時間をｙ分とすると、下のような表になります。

２つの変数ｘとｙの間には、ｘｙ＝１２００
すなわちｙ＝ １２００       ｘ     
という関係が成り立ちます。

このように反比例では２つの変数ｘとｙの関係が、ａを０でない定数として、
ｘｙ＝ａ 
すなわち ｙ＝  ａ   ｘ    ａ≠０ （ａは定数を表す）
と表されます。