練習問題
中学２年 １章 式の計算
２．文字式の利用
(問1) 次の問題に答えましょう。
(1) 十の位の数が\(x\) 、 一の位の数が\(y\) である２けたの自然数を文字式で表しましょう。
(2) 百の位の数が\(a\) 、 十の位の数が\(b\) 、 一の位の数が\(c\) である３けたの自然数を文字式で表しましょう。
(3) 一、十、百の位の数がすべて\(x\) である３けたの自然数を表しましょう。
(4) 連続する２つの奇数の和は４の倍数であることを文字を用いて説明してください。
(5) ２けたの自然数と、その数の一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数の和が１１の倍数になることを文字を使って説明してください。
(6) ２けたの自然数と、その数の一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数の差を考えると、どんなことがいえますか。
(1) 十の位の数が\(x\) 、 一の位の数が\(y\) である２けたの自然数を文字式で表しましょう。
(2) 百の位の数が\(a\) 、 十の位の数が\(b\) 、 一の位の数が\(c\) である３けたの自然数を文字式で表しましょう。
(3) 一、十、百の位の数がすべて\(x\) である３けたの自然数を表しましょう。
(4) 連続する２つの奇数の和は４の倍数であることを文字を用いて説明してください。
(5) ２けたの自然数と、その数の一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数の和が１１の倍数になることを文字を使って説明してください。
(6) ２けたの自然数と、その数の一の位の数字と十の位の数字を入れかえた数の差を考えると、どんなことがいえますか。
(1)\(10x+y\)
(2)\(100a+10b+c\)
(3)\(100x+10x+x\)
\(=111x\)
(4) 連続する２つの奇数は、整数\(n\) を用いて
\(2n-1\) ,\(2n+1\) と表せます。
これら２つの数の和は
\(\left( 2n-1 \right)+\left( 2n+1 \right)=4n \)
\(n\) は整数なので、\(4n\) は４の倍数である。
ゆえに、連続する２つの奇数の和は４の倍数である。
(5) 元の数の十の位の数を\(x\) 、 一の位の数を\(y\) とすると、
この数は\(10x+y\) と表される。
この数の十の位と一の位の数をいれかえた数は
\(10y+x\) と表される。
この２数の和は
\(\left( 10x+y \right)+\left( 10y+x \right)=11x+11y=11\left( x+y \right) \)
\(x+y\) は整数なので、\(11\left( x+y \right) \) は\(11\) でわり切れる。
(6) 元の数の十の位の数を\(x\) , 一の位の数を\(y\) とすると、
この数は\(10x+y\) と表される。
この数の十の位と一の位の数をいれかえた数は
\(10y+x\) と表される。
この２数の差は
\(\left( 10x+y \right)-\left( 10y+x \right)=9x-9y=9\left( x-y \right) \)
\(x-y\) は整数なので\(9\left( x-y \right) \) は\(9\) でわり切れる。
(問2) 次の問題を解きましょう。
(1) 2けたの自然数からその数の各位の数の和をひくと、9の倍数になります。このわけを、文字を使って説明してください。
(2) 縦の長さが\(x\) cm, 横の長さが\(y\) cm, 高さが\(z\) cmの直方体Ａと直方体Ａの各辺をそれぞれ２倍した大きさの直方体Ｂがあります。直方体Ｂの体積は、直方体Ａの体積の何倍になるか文字を使って説明してください。
(3) 3けたの自然数\(M\) の百の位の数字と、一の位の数字を入れかえてできる自然数を\(N\) とします。このとき\(M-N\) が99の倍数になることを文字を使って説明してください。
(4) 2,4,6の和は12で、6の倍数になります。このように、3つ続いた偶数の和は6の倍数になります。このわけを、文字を使って説明してください。
(5) 3939のように、千の位の数と十の位の数、百の位の数と一の位の数がそれぞれ等しい4けたの自然数が101でわり切れることを文字を使って説明してください。
(6) 2けたの自然数があります。この自然数の十の位の数と一の位の数をいれかえてできる自然数を8倍した数と、元の自然数の和が9の倍数となることを文字を用いて説明してください。
(1) 2けたの自然数からその数の各位の数の和をひくと、9の倍数になります。このわけを、文字を使って説明してください。
(2) 縦の長さが\(x\) cm, 横の長さが\(y\) cm, 高さが\(z\) cmの直方体Ａと直方体Ａの各辺をそれぞれ２倍した大きさの直方体Ｂがあります。直方体Ｂの体積は、直方体Ａの体積の何倍になるか文字を使って説明してください。
(3) 3けたの自然数\(M\) の百の位の数字と、一の位の数字を入れかえてできる自然数を\(N\) とします。このとき\(M-N\) が99の倍数になることを文字を使って説明してください。
(4) 2,4,6の和は12で、6の倍数になります。このように、3つ続いた偶数の和は6の倍数になります。このわけを、文字を使って説明してください。
(5) 3939のように、千の位の数と十の位の数、百の位の数と一の位の数がそれぞれ等しい4けたの自然数が101でわり切れることを文字を使って説明してください。
(6) 2けたの自然数があります。この自然数の十の位の数と一の位の数をいれかえてできる自然数を8倍した数と、元の自然数の和が9の倍数となることを文字を用いて説明してください。
(1)
十の位の数をｘ、一の位の数をｙとおくと
（１０ｘ＋ｙ）−（ｘ＋ｙ）＝９ｘ
ｘは整数なので９ｘは９の倍数となります。
(2)
直方体Ａの体積はｘｙｚ（ｃｍ３）
直方体Ｂの体積は２ｘ×２ｙ×２ｚ＝８ｘｙｚ（ｃｍ３）
ゆえに、直方体Ｂの体積は、直方体Ａの体積の８倍となる。
(3)
Ｍの百の位のの数をｘ、十の位の数をｙ、一の位の数をｚとすると、
Ｍ＝１００ｘ＋１０ｙ＋ｚ， Ｎ＝１００ｚ＋１０ｙ＋ｘ
よって、Ｍ−Ｎ＝（１００ｘ＋１０ｙ＋ｚ）−（１００ｚ＋１０ｙ＋ｘ）
＝９９ｘ−９９ｚ
＝９９（ｘ−ｚ）
ｘ，ｚは整数なので、ｘ−ｚは整数。
ゆえにＭ−Ｎは９９の倍数。
(4)
３つの続いた偶数は、２ｎ−２， ２ｎ， ２ｎ＋２と表せます。
よって、それらの和は
（２ｎ−２）＋２ｎ＋（２ｎ＋２）
＝６ｎ
ｎは整数なので６の倍数となります。
(5)
千の位の数と十の位の数をａ、百の位の数と一の位の数をｂとすると、
１０００ａ＋１００ｂ＋１０ａ＋ｂと表せる。
１０００ａ＋１００ｂ＋１０ａ＋ｂ
＝１０１０ａ＋１０１ｂ
＝１０１（１０ａ＋ｂ）
１０ａ＋ｂは整数なので、１０１（１０ａ＋ｂ）は１０１でわり切れる。
(6)
元の自然数の十の位の数をｘ、一の位の数をｙとすると、
８（１０ｙ＋ｘ）＋（１０ｘ＋ｙ）
＝１８ｘ＋８１ｙ
＝９（２ｘ＋９ｙ）
２ｘ＋９ｙは整数なので９（２ｘ＋９ｙ）は９の倍数です。
ゆえに、この自然数の和は９の倍数となります。
