練習問題

中学2年 2章 連立方程式

1.連立方程式の解き方


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(問1) 次の連立方程式を代入法で解きましょう。
(1)\(y=3x\)
 \(5x+y=16\)

(2)\(2x-3y=-8\)
 \(x=4y+1\)

(3)\(y=x+1\)
 \(y=-2x+13\)

(4)\(9x+y=24\)
 \(x=3y-16\)

(5)\(x=2y+5\)
 \(y=x-3\)

(6)\(4x+3y=7\)
 \(3y=-7x+10\)

(7)\(2x-7y=3\)
 \(x-3y=2\)

(8)\(4x-y=-8\)
 \(2x+3y=3\)


(1)\(y=3x\)  ……①
 \(5x+y=16\)  ……②

  ①を②に代入すると
 \(5x+3x=16\)
 \(8x=16\)
 \(x=2\)
  これを①に代入して
 \(y=3\times 2=6\)
  (答)\(x=2\)  ,\(y=6\)

(2)\(2x-3y=-8\)  ……①
 \(x=4y+1\)  ……②

  ②を①に代入すると
 \(2\left( 4y+1 \right)-3y=-8 \)
 \(8y+2-3y=-8\)
 \(5y=-10\)
 \(y=-2\)
  これを②に代入して
 \(x=4\times \left( -2 \right)+1=-7 \)
  (答)\(x=-7\)  ,\(y=-2\)

(3)\(y=x+1\)  ……①
 \(y=-2x+13\)  ……②

  ①を②に代入すると
 \(x+1=-2x+13\)
 \(x+2x=13-1\)
 \(3x=12\)
 \(x=4\)
  これを①に代入して
 \(y=4+1=5\)
  (答)\(x=4\)  ,\(y=5\)

(4)\(9x+y=24\)  ……①
 \(x=3y-16\)  ……②

  ②を①に代入すると
 \(9\left( 3y-16 \right)+y=24 \)
 \(27y-144+y=24\)
 \(28y=168\)
 \(y=6\)
  これを②に代入して
 \(x=3\times 6-16=2\)
  (答)\(x=2\)  ,\(y=6\)

(5)\(x=2y+5\)  ……①
 \(y=x-3\)  ……②

  ②を①に代入すると
 \(x=2\left( x-3 \right)+5 \)
 \(x=2x-6+5\)
 \(x=1\)
  これを②に代入して
 \(y=1-3=-2\)
  (答)\(x=1\)  ,\(y=-2\)

(6)\(4x+3y=7\)  ……①
 \(3y=-7x+10\)  ……②

  ②を①に代入すると
 \(4x+\left( -7x+10 \right)=7 \)
 \(4x-7x+10=7\)
 \(3x=3\)
 \(x=1\)
  これを②に代入して
 \(3y=-7\times 1+10\)
 \(y=1\)
  (答)\(x=1\)  ,\(y=1\)

(7)\(2x-7y=3\)  ……①
 \(x-3y=2\)  ……②

  ②を変形して\(x=3y+2\)  ……③
  ③を①に代入すると
 \(2\left( 3y+2 \right)-7y=3 \)
 \(6y+4-7y=3\)
 \(y=1\)
  これを③に代入して
 \(x=3\times 1+2=5\)
  (答)\(x=5\)  ,\(y=1\)

(8)\(4x-y=-8\)  ……①
 \(2x+3y=3\)  ……②

  ①を変形して\(y=4x+8\)  ……③
  ③を②に代入すると
 \(2x+3\left( 4x+8 \right)=3 \)
 \(2x+12x+24=3\)
 \(14x=-21\)
 \(x=-\dfrac {3} {2} \)
  これを③に代入して
 \(y=4\times \left( -\dfrac {3} {2}  \right)+8=2 \)
  (答)\(x=-\dfrac {3} {2} \)  ,\(y=2\)


(問2) 次の連立方程式を加減法で解きましょう。
(1)\(2x-3y=9\)
 \(2x-5y=11\)

(2)\(7x+2y=23\)
 \(3x+2y=19\)

(3)\(3x-5y=21\)
 \(8x+5y=1\)

(4)\(5x-9y=19\)
 \(-5x+6y=-13\)

(5)\(5x+4y=42\)
 \(3x+y=21\)

(6)\(x+4y=16\)
 \(3x+5y=13\)

(7)\(2x-y=4\)
 \(7x-3y=15\)

(8)\(2x-3y=-7\)
 \(-x+4y=6\)


(1)\(2x-3y=9\)  ……①
 \(2x-5y=11\)  ……②

  ①−②
     2−3= 9
   −) 2−5=11 
        2=−2

       \(y=-1\)  ……③
  ③を①に代入して、
 \(2x-3\times \left( -1 \right)=9 \)
 \(2x=6\)
 \(x=3\)
  (答)\(x=3\)  ,\(y=-1\)

(2)\(7x+2y=23\)  ……①
 \(3x+2y=19\)  ……②

  ①−②
     7+2=23
   −) 3+2=19 
     4   = 4

       \(x=1\)  ……③
  ③を②に代入して、
 \(3\times 1+2y=19\)
 \(2y=16\)
 \(y=8\)
  (答)\(x=1\)  ,\(y=8\)

(3)\(3x-5y=21\)  ……①
 \(8x+5y=1\)  ……②

  ①+②
     3−5=21
   +) 8+5= 1 
     11   =22

       \(x=2\)  ……③
  ③を①に代入して、
 \(3\times 2-5y=21\)
 \(5y=-15\)
 \(y=-3\)
  (答)\(x=2\)  ,\(y=-3\)

(4)\(5x-9y=19\)  ……①
 \(-5x+6y=-13\)  ……②

  ①+②
      5−9= 19
   +) −5+6=−13 
        −3=  6

       \(y=-2\)  ……③
  ③を①に代入して、
 \(5x-9\times \left( -2 \right)=19 \)
 \(5x=1\)
 \(x=\dfrac {1} {5} \)
  (答)\(x=\dfrac {1} {5} \)  ,\(y=-2\)

(5)\(5x+4y=42\)  ……①
 \(3x+y=21\)  ……②

  ①−②×4
     5+4=42
   −) 12+4=82 
     −7   =−42

       \(x=6\)  ……③
  ③を②に代入して、
 \(3\times 6+y=21\)
 \(y=3\)
  (答)\(x=6\)  ,\(y=-2\)

(6)\(x+4y=16\)  ……①
 \(3x+5y=13\)  ……②

  ①×3−②
     3+12=48
   −) 3+ 5=13 
         7=35

       \(y=5\)  ……③
  ③を①に代入して、
 \(x+4\times 5=16\)
 \(x=-4\)
  (答)\(x=-4\)  ,\(y=5\)

(7)\(2x-y=4\)  ……①
 \(7x-3y=15\)  ……②

  ①×3−②
     6−3=12
   −) 7−3=15 
     −   =−3

       \(x=3\)  ……③
  ③を①に代入して、
 \(2\times 3-y=4\)
 \(y=2\)
  (答)\(x=3\)  ,\(y=2\)

(8)\(2x-3y=-7\)  ……①
 \(-x+4y=6\)  ……②

  ①+②×2
      2−3=−7
   +) −2+8=12 
         5=5

       \(y=1\)  ……③
  ③を②に代入して、
 \(-x+4\times 1=6\)
 \(x=-2\)
  (答)\(x=-2\)  ,\(y=1\)


(問3) 次の連立方程式を解きましょう。
(1)\(3x-2y=-7\)
 \(x=3y\)

(2)\(y=2x-10\)
 \(7x-2y=29\)

(3)\(2x+4y=16\)
 \(6x+5y=27\)

(4)\(-2x+9y=30\)
 \(5x+3y=-24\)

(5)\(2x+3y=2\)
 \(3x+2y=-7\)

(6)\(3x-2y=12\)
 \(2y=x-8\)

(7)\(14x+9y=5\)
 \(21x-3y=24\)

(8)\(5x+9y=-19\)
 \(2x+6y=-10\)


(1)\(3x-2y=-7\)  ……①
 \(x=3y\)  ……②

  代入法を用います。
  ②を①に代入すると
 \(3\times 3y-2y=-7\)
 \(9y-2y=-7\)
 \(7y=-7\)
 \(y=-1\)  ……③
  ③を②に代入して、
 \(x=3\times \left( -1 \right)=-3 \)
  (答)\(x=-3\)  ,\(y=-1\)

(2)\(y=2x-10\)  ……①
 \(7x-2y=29\)  ……②

  代入法を用います。
  ①を②に代入すると
 \(7x-2\left( 2x-10 \right)=29 \)
 \(7x-4x+20=29\)
 \(3x=9\)
 \(x=3\)  ……③
  ③を①に代入して、
 \(y=2\times 3-10=-4\)
  (答)\(x=3\)  ,\(y=-4\)

(3)\(2x+4y=16\)  ……①
 \(6x+5y=27\)  ……②

  加減法を用います。
  ①×3−②
     6+12=48
   −)  6+ 5=27 
          7=21

       \(y=3\)  ……③
  ③を①に代入して、
 \(2\times x+4\times 3=16\)
 \(2x=4\)
 \(x=2\)
  (答)\(x=2\)  ,\(y=3\)

(4)\(-2x+9y=30\)  ……①
 \(5x+3y=-24\)  ……②

  加減法を用います。
  ①−②×3
     −2+9= 30
    −)  15+9=−72 
      −17   =102

       \(x=-6\)  ……③
  ③を①に代入して、
 \(-2\times \left( -6 \right)+9y=30 \)
 \(9y=18\)
 \(y=2\)
  (答)\(x=-6\)  ,\(y=2\)

(5)\(2x+3y=2\)  ……①
 \(3x+2y=-7\)  ……②

  加減法を用います。
  ①×3−②×2
      6+9=  6
    −)  6+4=−14 
         5= 20

       \(y=4\)  ……③
  ③を②に代入して、
 \(3x+2\times 4=-7\)
 \(3x=-15\)
 \(x=-5\)
  (答)\(x=-5\)  ,\(y=4\)

(6)\(3x-2y=12\)  ……①
 \(2y=x-8\)  ……②

  代入法を用います。
  ②を①に代入して、
 \(3x-\left( x-8 \right)=12 \)
 \(3x-x+8=12\)
 \(2x=4\)
 \(x=2\)  ……③
  ③を②に代入して、
 \(2y=2-8=-6\)
 \(y=-3\)
  (答)\(x=2\)  ,\(y=-3\)

(7)\(14x+9y=5\)  ……①
 \(21x-3y=24\)  ……②

  加減法を用います。
  ①+②×3
      14+9= 5
    +)  63−9=72 
      77    =77

       \(x=1\)  ……③
  ③を①に代入して、
 \(14\times 1+9y=5\)
 \(9y=-9\)
 \(y=-1\)
  (答)\(x=1\)  ,\(y=-1\)

(8)\(5x+9y=-19\)  ……①
 \(2x+6y=-10\)  ……②

  加減法を用います。
  ①×2−②×5
      10+18=−38
    −)  10+30=−50 
        −12= 12

       \(y=-1\)  ……③
  ③を②に代入して、
 \(2x+6\times \left( -1 \right)=-10 \)
 \(2x=-10+6\)
 \(x=-2\)
  (答)\(x=-2\)  ,\(y=-1\)


(問4) 次の連立方程式を解きましょう。
(1)\(3.5x+2.5y=4.5\)
 \(0.7x-0.8y=2.2\)

(2)\(1.6x-0.9y=3\)
 \(2.8x+1.8y=12\)

(3)\(\dfrac {2} {3} x+\dfrac {5} {2} y=-6\)
 \(\dfrac {5} {6} x-\dfrac {3} {4} y=8\)

(4)\(\dfrac {1} {4} x-\dfrac {5} {8} y=\dfrac {1} {8} \)
 \(\dfrac {1} {2} x-\dfrac {3} {4} y=-\dfrac {1} {4} \)

(5)\(2x-3y=3\)
 \(2\left( x+4 \right)=7-y \)

(6)\(3\left( x-y \right)+2y=11 \)
 \(5x-3\left( 2x-y \right)=-9 \)


(1)\(3.5x+2.5y=4.5\)  ……①
 \(0.7x-0.8y=2.2\)  ……②

 ①×10より\(35x+25y=45\)  ……③
 ②×10より\(7x-8y=22\)  ……④

 ④×5より\(35x-40y=110\)  ……⑤

 ③−⑤
      35+25= 45
    −)  35−40=110 
         65=−65

        \(y=-1\)  ……⑥
 ⑥を④に代入して
 \(7x-8\times \left( -1 \right)=22 \)
 \(7x=14\)
 \(x=2\)
  (答)\(x=2\)  ,\(y=-1\)

(2)\(1.6x-0.9y=3\)  ……①
 \(2.8x+1.8y=12\)  ……②
 ①×10より\(16x-9y=30\)  ……③
 ②×10より\(28x+18y=120\)  ……④

 ①×2より\(32x-18y=60\)  ……⑤

 ⑤+④
      32−18= 60
    +)  28+18=120 
      60   =180

        \(x=3\)  ……⑥
 ⑥を③に代入して
 \(16\times 3-9y=30\)
 \(9y=18\)
 \(y=2\)
  (答)\(x=3\)  ,\(y=2\)

(3)\(\dfrac {2} {3} x+\dfrac {5} {2} y=-6\)  ……①
 \(\dfrac {5} {6} x-\dfrac {3} {4} y=8\)  ……②

 ①×6より\(4x+15y=-36\)  ……③
 ②×12より\(10x-9y=96\)  ……④

 ③×5より\(20x+75y=-180\)  ……⑤
 ④×2より\(20x-18y=192\)  ……⑥

  ⑤−⑥
      20+75=−180
    −)  20−18= 192 
         93=−372

        \(y=-4\)  ……⑦
  ⑦を③に代入して、
 \(4x+15\times \left( -4 \right)=-36 \)
 \(4x-60=-36\)
 \(4x=24\)
 \(x=6\)
  (答)\(x=6\)  ,\(y=-4\)

(4)\(\dfrac {1} {4} x-\dfrac {5} {8} y=\dfrac {1} {8} \)  ……①
 \(\dfrac {1} {2} x-\dfrac {3} {4} y=-\dfrac {1} {4} \)  ……②

  ①×8より\(2x-5y=1\)  ……③
  ②×4より\(2x-3y=-1\)  ……④

  ③−④
      2−5= 1
    −)  2−3=−1 
       −2=2

        \(y=-1\)  ……⑤
  ⑤を③に代入して
 \(2x-5\times \left( -1 \right)=1 \)
 \(2x+5=1\)
 \(2x=-4\)
 \(x=-2\)
  (答)\(x=-2\)  ,\(y=-1\)

(5)\(2x-3y=3\)  ……①
 \(2\left( x+4 \right)=7-y \)  ……②

  ②を変形して\(2x+y=-1\)  ……③

  ①−③
      2−3= 3
    −)  2+ =−1 
       −4=4

        \(y=-1\)  ……④
  ④を③に代入して
 \(2x+\left( -1 \right)=1 \)
 \(2x=2\)
 \(x=1\)
  (答)\(x=1\)  ,\(y=-1\)

(6)\(3\left( x-y \right)+2y=11 \)  ……①
 \(5x-3\left( 2x-y \right)=-9 \)  ……②

  ①を変形して\(3x-y=11\)  ……③
  ②を変形して\(-x+3y=-9\)  ……④

  ③+④×3
      3− = 11
    +)  3+9=−27 
        8=−16

        \(y=-2\)  ……⑤
  ⑤を④に代入して、
 \(-x+3\times \left( -2 \right)=-9 \)
 \(x=3\)
  (答)\(x=3\)  ,\(y=-2\)


(問5) 次の連立方程式を解きましょう。
(1)\(3x-5y+4=-2x+3y=2\)

(2)\(8-3x=-5x+3y=2x+5y+3\)

(3)\(x+y-3z=-1\)
 \(x-y+2z=6\)
 \(2x+y-z=4\)

(4)\(2x-4y-3z=-2\)
 \(3x+2y+3z=-4\)
 \(2x-5y-6z=-6\)

(5)\(x:\left( x+y \right)=2:5 \)
 \(3x-y=6\)

(6)\(\left( x+y \right):\left( x-y \right)=3:2 \)
 \(4x+y=21\)


(1)\(3x-5y+4=-2x+3y=2\)

 \(3x-5y+4=2\)  ……①
 \(-2x+3y=2\)  ……②

  ①を変形して\(3x-5y=-2\)  ……③

  ③×2+②×3
       6−10=−4
    +)  −6+ 9= 6 
          −=2

        \(y=-2\)  ……④
  ④を②に代入して
 \(-2x+3\times \left( -2 \right)=2 \)
 \(-2x=8\)
 \(x=-4\)
  (答)\(x=-4\)  ,\(y=-2\)

(2)\(8-3x=-5x+3y=2x+5y+3\)

 \(8-3x=-5x+3y\)  ……①
 \(-5x+3y=2x+5y+3\)  ……②

  ①を変形して\(-2x+3y=8\)  ……③
  ②を変形して\(-7x-2y=3\)  ……④

  ③×2+④×3
       −4+6=16
    +)  −21−6= 9 
       −25  =25

        \(x=-1\)  ……⑤
  ⑤を③に代入して
 \(-2\times \left( -1 \right)+3y=8 \)
 \(3y=6\)
 \(y=2\)
  (答)\(x=-1\)  ,\(y=2\)

(3)\(x+y-3z=-1\)  ……①
 \(x-y+2z=6\)  ……②
 \(2x+y-z=4\)  ……③

  ①+②より
 \(2x-z=5\)  ……④

  ②+③より
 \(3x+z=10\)  ……⑤

  ④+⑤より
 \(5x=15\)
 \(x=3\)  ……⑥

  ⑥を⑤に代入して
 \(3\times 3+z=10\)
 \(z=1\)  ……⑦

  ⑥と⑦を①に代入して
 \(3+y-3\times 1=-1\)
 \(y=-1\)
  (答)\(x=3\)  ,\(y=-1\)  ,\(z=1\)

(4)\(2x-4y-3z=-2\)  ……①
 \(3x+2y+3z=-4\)  ……②
 \(2x-5y-6z=-6\)  ……③

  ①+②より
 \(5x-2y=-6\)  ……④

  ②×2+③より
 \(8x-y=-14\)  ……⑤

  ④−⑤×2より
 \(-11x=22\)
 \(x=-2\)  ……⑥

  ⑥を⑤に代入して
 \(8\times \left( -2 \right)-y=-14 \)
 \(y=-2\)  ……⑦

  ⑥と⑦を①に代入して
 \(2\times \left( -2 \right)-4\times \left( -2 \right)-3z=-2 \)
 \(-3z=-6\)
 \(z=2\)
  (答)\(x=-2\)  ,\(y=-2\)  ,\(z=2\)

(5)\(x:\left( x+y \right)=2:5 \)  ……①
 \(3x-y=6\)  ……②

  ①を変形して
 \(5x=2\left( x+y \right) \)
 \(3x=2y\)  ……③

  ③を②に代入して
 \( 2y-y=6 \)
 \(y=6\)  ……④

  ④を③に代入して
 \(3x=2\times 6 \)
 \(x=4\)
  (答)\(x=4\)  ,\(y=6\)

(6)\(\left( x+y \right):\left( x-y \right)=3:2 \)  ……①
 \(4x+y=21\)  ……②

  ①を変形して
 \(2\left( x+y \right)=3\left( x-y \right) \)
 \(x=5y\)  ……③

  ③を②に代入して
 \(4\times 5y+y=21\)
 \(21y=21\)
 \(y=1\)  ……④

  ④を③に代入して
 \(x=5\times 1\)
 \(x=5\)
  (答)\(x=5\)  ,\(y=1\)








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