練習問題
中学2年 2章 連立方程式
1.連立方程式の解き方
(問1) 次の連立方程式を代入法で解きましょう。
(1)\(y=3x\)
\(5x+y=16\)
(2)\(2x-3y=-8\)
\(x=4y+1\)
(3)\(y=x+1\)
\(y=-2x+13\)
(4)\(9x+y=24\)
\(x=3y-16\)
(5)\(x=2y+5\)
\(y=x-3\)
(6)\(4x+3y=7\)
\(3y=-7x+10\)
(7)\(2x-7y=3\)
\(x-3y=2\)
(8)\(4x-y=-8\)
\(2x+3y=3\)
(1)\(y=3x\)
\(5x+y=16\)
(2)\(2x-3y=-8\)
\(x=4y+1\)
(3)\(y=x+1\)
\(y=-2x+13\)
(4)\(9x+y=24\)
\(x=3y-16\)
(5)\(x=2y+5\)
\(y=x-3\)
(6)\(4x+3y=7\)
\(3y=-7x+10\)
(7)\(2x-7y=3\)
\(x-3y=2\)
(8)\(4x-y=-8\)
\(2x+3y=3\)
(1)\(y=3x\) ……①
\(5x+y=16\) ……②
①を②に代入すると
\(5x+3x=16\)
\(8x=16\)
\(x=2\)
これを①に代入して
\(y=3\times 2=6\)
(答)\(x=2\) ,\(y=6\)
(2)\(2x-3y=-8\) ……①
\(x=4y+1\) ……②
②を①に代入すると
\(2\left( 4y+1 \right)-3y=-8 \)
\(8y+2-3y=-8\)
\(5y=-10\)
\(y=-2\)
これを②に代入して
\(x=4\times \left( -2 \right)+1=-7 \)
(答)\(x=-7\) ,\(y=-2\)
(3)\(y=x+1\) ……①
\(y=-2x+13\) ……②
①を②に代入すると
\(x+1=-2x+13\)
\(x+2x=13-1\)
\(3x=12\)
\(x=4\)
これを①に代入して
\(y=4+1=5\)
(答)\(x=4\) ,\(y=5\)
(4)\(9x+y=24\) ……①
\(x=3y-16\) ……②
②を①に代入すると
\(9\left( 3y-16 \right)+y=24 \)
\(27y-144+y=24\)
\(28y=168\)
\(y=6\)
これを②に代入して
\(x=3\times 6-16=2\)
(答)\(x=2\) ,\(y=6\)
(5)\(x=2y+5\) ……①
\(y=x-3\) ……②
②を①に代入すると
\(x=2\left( x-3 \right)+5 \)
\(x=2x-6+5\)
\(x=1\)
これを②に代入して
\(y=1-3=-2\)
(答)\(x=1\) ,\(y=-2\)
(6)\(4x+3y=7\) ……①
\(3y=-7x+10\) ……②
②を①に代入すると
\(4x+\left( -7x+10 \right)=7 \)
\(4x-7x+10=7\)
\(3x=3\)
\(x=1\)
これを②に代入して
\(3y=-7\times 1+10\)
\(y=1\)
(答)\(x=1\) ,\(y=1\)
(7)\(2x-7y=3\) ……①
\(x-3y=2\) ……②
②を変形して\(x=3y+2\) ……③
③を①に代入すると
\(2\left( 3y+2 \right)-7y=3 \)
\(6y+4-7y=3\)
\(y=1\)
これを③に代入して
\(x=3\times 1+2=5\)
(答)\(x=5\) ,\(y=1\)
(8)\(4x-y=-8\) ……①
\(2x+3y=3\) ……②
①を変形して\(y=4x+8\) ……③
③を②に代入すると
\(2x+3\left( 4x+8 \right)=3 \)
\(2x+12x+24=3\)
\(14x=-21\)
\(x=-\dfrac {3} {2} \)
これを③に代入して
\(y=4\times \left( -\dfrac {3} {2} \right)+8=2 \)
(答)\(x=-\dfrac {3} {2} \) ,\(y=2\)
(問2) 次の連立方程式を加減法で解きましょう。
(1)\(2x-3y=9\)
\(2x-5y=11\)
(2)\(7x+2y=23\)
\(3x+2y=19\)
(3)\(3x-5y=21\)
\(8x+5y=1\)
(4)\(5x-9y=19\)
\(-5x+6y=-13\)
(5)\(5x+4y=42\)
\(3x+y=21\)
(6)\(x+4y=16\)
\(3x+5y=13\)
(7)\(2x-y=4\)
\(7x-3y=15\)
(8)\(2x-3y=-7\)
\(-x+4y=6\)
(1)\(2x-3y=9\)
\(2x-5y=11\)
(2)\(7x+2y=23\)
\(3x+2y=19\)
(3)\(3x-5y=21\)
\(8x+5y=1\)
(4)\(5x-9y=19\)
\(-5x+6y=-13\)
(5)\(5x+4y=42\)
\(3x+y=21\)
(6)\(x+4y=16\)
\(3x+5y=13\)
(7)\(2x-y=4\)
\(7x-3y=15\)
(8)\(2x-3y=-7\)
\(-x+4y=6\)
(1)\(2x-3y=9\) ……①
\(2x-5y=11\) ……②
①−②
2x−3y= 9
−) 2x−5y=11
2y=−2
\(y=-1\) ……③
③を①に代入して、
\(2x-3\times \left( -1 \right)=9 \)
\(2x=6\)
\(x=3\)
(答)\(x=3\) ,\(y=-1\)
(2)\(7x+2y=23\) ……①
\(3x+2y=19\) ……②
①−②
7x+2y=23
−) 3x+2y=19
4x = 4
\(x=1\) ……③
③を②に代入して、
\(3\times 1+2y=19\)
\(2y=16\)
\(y=8\)
(答)\(x=1\) ,\(y=8\)
(3)\(3x-5y=21\) ……①
\(8x+5y=1\) ……②
①+②
3x−5y=21
+) 8x+5y= 1
11x =22
\(x=2\) ……③
③を①に代入して、
\(3\times 2-5y=21\)
\(5y=-15\)
\(y=-3\)
(答)\(x=2\) ,\(y=-3\)
(4)\(5x-9y=19\) ……①
\(-5x+6y=-13\) ……②
①+②
5x−9y= 19
+) −5x+6y=−13
−3y= 6
\(y=-2\) ……③
③を①に代入して、
\(5x-9\times \left( -2 \right)=19 \)
\(5x=1\)
\(x=\dfrac {1} {5} \)
(答)\(x=\dfrac {1} {5} \) ,\(y=-2\)
(5)\(5x+4y=42\) ……①
\(3x+y=21\) ……②
①−②×4
5x+4y=42
−) 12x+4y=82
−7x =−42
\(x=6\) ……③
③を②に代入して、
\(3\times 6+y=21\)
\(y=3\)
(答)\(x=6\) ,\(y=-2\)
(6)\(x+4y=16\) ……①
\(3x+5y=13\) ……②
①×3−②
3x+12y=48
−) 3x+ 5y=13
7y=35
\(y=5\) ……③
③を①に代入して、
\(x+4\times 5=16\)
\(x=-4\)
(答)\(x=-4\) ,\(y=5\)
(7)\(2x-y=4\) ……①
\(7x-3y=15\) ……②
①×3−②
6x−3y=12
−) 7x−3y=15
−x =−3
\(x=3\) ……③
③を①に代入して、
\(2\times 3-y=4\)
\(y=2\)
(答)\(x=3\) ,\(y=2\)
(8)\(2x-3y=-7\) ……①
\(-x+4y=6\) ……②
①+②×2
2x−3y=−7
+) −2x+8y=12
5y=5
\(y=1\) ……③
③を②に代入して、
\(-x+4\times 1=6\)
\(x=-2\)
(答)\(x=-2\) ,\(y=1\)
(問3) 次の連立方程式を解きましょう。
(1)\(3x-2y=-7\)
\(x=3y\)
(2)\(y=2x-10\)
\(7x-2y=29\)
(3)\(2x+4y=16\)
\(6x+5y=27\)
(4)\(-2x+9y=30\)
\(5x+3y=-24\)
(5)\(2x+3y=2\)
\(3x+2y=-7\)
(6)\(3x-2y=12\)
\(2y=x-8\)
(7)\(14x+9y=5\)
\(21x-3y=24\)
(8)\(5x+9y=-19\)
\(2x+6y=-10\)
(1)\(3x-2y=-7\)
\(x=3y\)
(2)\(y=2x-10\)
\(7x-2y=29\)
(3)\(2x+4y=16\)
\(6x+5y=27\)
(4)\(-2x+9y=30\)
\(5x+3y=-24\)
(5)\(2x+3y=2\)
\(3x+2y=-7\)
(6)\(3x-2y=12\)
\(2y=x-8\)
(7)\(14x+9y=5\)
\(21x-3y=24\)
(8)\(5x+9y=-19\)
\(2x+6y=-10\)
(1)\(3x-2y=-7\) ……①
\(x=3y\) ……②
代入法を用います。
②を①に代入すると
\(3\times 3y-2y=-7\)
\(9y-2y=-7\)
\(7y=-7\)
\(y=-1\) ……③
③を②に代入して、
\(x=3\times \left( -1 \right)=-3 \)
(答)\(x=-3\) ,\(y=-1\)
(2)\(y=2x-10\) ……①
\(7x-2y=29\) ……②
代入法を用います。
①を②に代入すると
\(7x-2\left( 2x-10 \right)=29 \)
\(7x-4x+20=29\)
\(3x=9\)
\(x=3\) ……③
③を①に代入して、
\(y=2\times 3-10=-4\)
(答)\(x=3\) ,\(y=-4\)
(3)\(2x+4y=16\) ……①
\(6x+5y=27\) ……②
加減法を用います。
①×3−②
6x+12y=48
−) 6x+ 5y=27
7y=21
\(y=3\) ……③
③を①に代入して、
\(2\times x+4\times 3=16\)
\(2x=4\)
\(x=2\)
(答)\(x=2\) ,\(y=3\)
(4)\(-2x+9y=30\) ……①
\(5x+3y=-24\) ……②
加減法を用います。
①−②×3
−2x+9y= 30
−) 15x+9y=−72
−17x =102
\(x=-6\) ……③
③を①に代入して、
\(-2\times \left( -6 \right)+9y=30 \)
\(9y=18\)
\(y=2\)
(答)\(x=-6\) ,\(y=2\)
(5)\(2x+3y=2\) ……①
\(3x+2y=-7\) ……②
加減法を用います。
①×3−②×2
6x+9y= 6
−) 6x+4y=−14
5y= 20
\(y=4\) ……③
③を②に代入して、
\(3x+2\times 4=-7\)
\(3x=-15\)
\(x=-5\)
(答)\(x=-5\) ,\(y=4\)
(6)\(3x-2y=12\) ……①
\(2y=x-8\) ……②
代入法を用います。
②を①に代入して、
\(3x-\left( x-8 \right)=12 \)
\(3x-x+8=12\)
\(2x=4\)
\(x=2\) ……③
③を②に代入して、
\(2y=2-8=-6\)
\(y=-3\)
(答)\(x=2\) ,\(y=-3\)
(7)\(14x+9y=5\) ……①
\(21x-3y=24\) ……②
加減法を用います。
①+②×3
14x+9y= 5
+) 63x−9y=72
77x =77
\(x=1\) ……③
③を①に代入して、
\(14\times 1+9y=5\)
\(9y=-9\)
\(y=-1\)
(答)\(x=1\) ,\(y=-1\)
(8)\(5x+9y=-19\) ……①
\(2x+6y=-10\) ……②
加減法を用います。
①×2−②×5
10x+18y=−38
−) 10x+30y=−50
−12y= 12
\(y=-1\) ……③
③を②に代入して、
\(2x+6\times \left( -1 \right)=-10 \)
\(2x=-10+6\)
\(x=-2\)
(答)\(x=-2\) ,\(y=-1\)
(問4) 次の連立方程式を解きましょう。
(1)\(3.5x+2.5y=4.5\)
\(0.7x-0.8y=2.2\)
(2)\(1.6x-0.9y=3\)
\(2.8x+1.8y=12\)
(3)\(\dfrac {2} {3} x+\dfrac {5} {2} y=-6\)
\(\dfrac {5} {6} x-\dfrac {3} {4} y=8\)
(4)\(\dfrac {1} {4} x-\dfrac {5} {8} y=\dfrac {1} {8} \)
\(\dfrac {1} {2} x-\dfrac {3} {4} y=-\dfrac {1} {4} \)
(5)\(2x-3y=3\)
\(2\left( x+4 \right)=7-y \)
(6)\(3\left( x-y \right)+2y=11 \)
\(5x-3\left( 2x-y \right)=-9 \)
(1)\(3.5x+2.5y=4.5\)
\(0.7x-0.8y=2.2\)
(2)\(1.6x-0.9y=3\)
\(2.8x+1.8y=12\)
(3)\(\dfrac {2} {3} x+\dfrac {5} {2} y=-6\)
\(\dfrac {5} {6} x-\dfrac {3} {4} y=8\)
(4)\(\dfrac {1} {4} x-\dfrac {5} {8} y=\dfrac {1} {8} \)
\(\dfrac {1} {2} x-\dfrac {3} {4} y=-\dfrac {1} {4} \)
(5)\(2x-3y=3\)
\(2\left( x+4 \right)=7-y \)
(6)\(3\left( x-y \right)+2y=11 \)
\(5x-3\left( 2x-y \right)=-9 \)
(1)\(3.5x+2.5y=4.5\) ……①
\(0.7x-0.8y=2.2\) ……②
①×10より\(35x+25y=45\) ……③
②×10より\(7x-8y=22\) ……④
④×5より\(35x-40y=110\) ……⑤
③−⑤
35x+25y= 45
−) 35x−40y=110
65y=−65
\(y=-1\) ……⑥
⑥を④に代入して
\(7x-8\times \left( -1 \right)=22 \)
\(7x=14\)
\(x=2\)
(答)\(x=2\) ,\(y=-1\)
(2)\(1.6x-0.9y=3\) ……①
\(2.8x+1.8y=12\) ……②
①×10より\(16x-9y=30\) ……③
②×10より\(28x+18y=120\) ……④
①×2より\(32x-18y=60\) ……⑤
⑤+④
32x−18y= 60
+) 28x+18y=120
60x =180
\(x=3\) ……⑥
⑥を③に代入して
\(16\times 3-9y=30\)
\(9y=18\)
\(y=2\)
(答)\(x=3\) ,\(y=2\)
(3)\(\dfrac {2} {3} x+\dfrac {5} {2} y=-6\) ……①
\(\dfrac {5} {6} x-\dfrac {3} {4} y=8\) ……②
①×6より\(4x+15y=-36\) ……③
②×12より\(10x-9y=96\) ……④
③×5より\(20x+75y=-180\) ……⑤
④×2より\(20x-18y=192\) ……⑥
⑤−⑥
20x+75y=−180
−) 20x−18y= 192
93y=−372
\(y=-4\) ……⑦
⑦を③に代入して、
\(4x+15\times \left( -4 \right)=-36 \)
\(4x-60=-36\)
\(4x=24\)
\(x=6\)
(答)\(x=6\) ,\(y=-4\)
(4)\(\dfrac {1} {4} x-\dfrac {5} {8} y=\dfrac {1} {8} \) ……①
\(\dfrac {1} {2} x-\dfrac {3} {4} y=-\dfrac {1} {4} \) ……②
①×8より\(2x-5y=1\) ……③
②×4より\(2x-3y=-1\) ……④
③−④
2x−5y= 1
−) 2x−3y=−1
−2y=2
\(y=-1\) ……⑤
⑤を③に代入して
\(2x-5\times \left( -1 \right)=1 \)
\(2x+5=1\)
\(2x=-4\)
\(x=-2\)
(答)\(x=-2\) ,\(y=-1\)
(5)\(2x-3y=3\) ……①
\(2\left( x+4 \right)=7-y \) ……②
②を変形して\(2x+y=-1\) ……③
①−③
2x−3y= 3
−) 2x+ y=−1
−4y=4
\(y=-1\) ……④
④を③に代入して
\(2x+\left( -1 \right)=1 \)
\(2x=2\)
\(x=1\)
(答)\(x=1\) ,\(y=-1\)
(6)\(3\left( x-y \right)+2y=11 \) ……①
\(5x-3\left( 2x-y \right)=-9 \) ……②
①を変形して\(3x-y=11\) ……③
②を変形して\(-x+3y=-9\) ……④
③+④×3
3x− y= 11
+) 3x+9y=−27
8y=−16
\(y=-2\) ……⑤
⑤を④に代入して、
\(-x+3\times \left( -2 \right)=-9 \)
\(x=3\)
(答)\(x=3\) ,\(y=-2\)
(問5) 次の連立方程式を解きましょう。
(1)\(3x-5y+4=-2x+3y=2\)
(2)\(8-3x=-5x+3y=2x+5y+3\)
(3)\(x+y-3z=-1\)
\(x-y+2z=6\)
\(2x+y-z=4\)
(4)\(2x-4y-3z=-2\)
\(3x+2y+3z=-4\)
\(2x-5y-6z=-6\)
(5)\(x:\left( x+y \right)=2:5 \)
\(3x-y=6\)
(6)\(\left( x+y \right):\left( x-y \right)=3:2 \)
\(4x+y=21\)
(1)\(3x-5y+4=-2x+3y=2\)
(2)\(8-3x=-5x+3y=2x+5y+3\)
(3)\(x+y-3z=-1\)
\(x-y+2z=6\)
\(2x+y-z=4\)
(4)\(2x-4y-3z=-2\)
\(3x+2y+3z=-4\)
\(2x-5y-6z=-6\)
(5)\(x:\left( x+y \right)=2:5 \)
\(3x-y=6\)
(6)\(\left( x+y \right):\left( x-y \right)=3:2 \)
\(4x+y=21\)
(1)\(3x-5y+4=-2x+3y=2\)
\(3x-5y+4=2\) ……①
\(-2x+3y=2\) ……②
①を変形して\(3x-5y=-2\) ……③
③×2+②×3
6x−10y=−4
+) −6x+ 9y= 6
−y=2
\(y=-2\) ……④
④を②に代入して
\(-2x+3\times \left( -2 \right)=2 \)
\(-2x=8\)
\(x=-4\)
(答)\(x=-4\) ,\(y=-2\)
(2)\(8-3x=-5x+3y=2x+5y+3\)
\(8-3x=-5x+3y\) ……①
\(-5x+3y=2x+5y+3\) ……②
①を変形して\(-2x+3y=8\) ……③
②を変形して\(-7x-2y=3\) ……④
③×2+④×3
−4x+6y=16
+) −21x−6y= 9
−25x =25
\(x=-1\) ……⑤
⑤を③に代入して
\(-2\times \left( -1 \right)+3y=8 \)
\(3y=6\)
\(y=2\)
(答)\(x=-1\) ,\(y=2\)
(3)\(x+y-3z=-1\) ……①
\(x-y+2z=6\) ……②
\(2x+y-z=4\) ……③
①+②より
\(2x-z=5\) ……④
②+③より
\(3x+z=10\) ……⑤
④+⑤より
\(5x=15\)
\(x=3\) ……⑥
⑥を⑤に代入して
\(3\times 3+z=10\)
\(z=1\) ……⑦
⑥と⑦を①に代入して
\(3+y-3\times 1=-1\)
\(y=-1\)
(答)\(x=3\) ,\(y=-1\) ,\(z=1\)
(4)\(2x-4y-3z=-2\) ……①
\(3x+2y+3z=-4\) ……②
\(2x-5y-6z=-6\) ……③
①+②より
\(5x-2y=-6\) ……④
②×2+③より
\(8x-y=-14\) ……⑤
④−⑤×2より
\(-11x=22\)
\(x=-2\) ……⑥
⑥を⑤に代入して
\(8\times \left( -2 \right)-y=-14 \)
\(y=-2\) ……⑦
⑥と⑦を①に代入して
\(2\times \left( -2 \right)-4\times \left( -2 \right)-3z=-2 \)
\(-3z=-6\)
\(z=2\)
(答)\(x=-2\) ,\(y=-2\) ,\(z=2\)
(5)\(x:\left( x+y \right)=2:5 \) ……①
\(3x-y=6\) ……②
①を変形して
\(5x=2\left( x+y \right) \)
\(3x=2y\) ……③
③を②に代入して
\( 2y-y=6 \)
\(y=6\) ……④
④を③に代入して
\(3x=2\times 6 \)
\(x=4\)
(答)\(x=4\) ,\(y=6\)
(6)\(\left( x+y \right):\left( x-y \right)=3:2 \) ……①
\(4x+y=21\) ……②
①を変形して
\(2\left( x+y \right)=3\left( x-y \right) \)
\(x=5y\) ……③
③を②に代入して
\(4\times 5y+y=21\)
\(21y=21\)
\(y=1\) ……④
④を③に代入して
\(x=5\times 1\)
\(x=5\)
(答)\(x=5\) ,\(y=1\)