練習問題
中学２年 ２章 連立方程式
２．連立方程式の利用
(問1)
２けたの自然数があります。一の位の数は十の位の数の２倍で、、十の位の数と一の位の数をいれかえてできる数は、もとの数より２７大きいです。もとの数はいくつですか。
２けたの自然数があります。一の位の数は十の位の数の２倍で、、十の位の数と一の位の数をいれかえてできる数は、もとの数より２７大きいです。もとの数はいくつですか。
もとの数の十の位の数を\(x\) 、 一の位の数を\(y\) とします。
このとき、
もとの数は\(10x+y\)
十の位の数と一の位の数をいれかえた数は\(10y+x\) と表します。
\(y=2x\) ……①
\(10y+x=\left( 10x+y \right)+27 \) ……②
②より\(-x+y=3\) ……③
①を③に代入して
\(-x+2x=3\)
\(x=3\) ……④
④を①に代入して
\(y=2\times 3=6\)
ゆえに元の数は36
（答）３６
(問2)
１００円玉と５０円玉が合わせて４５枚あり、その合計金額は３２５０円でした。１００円玉と５０円玉はそれぞれ何枚ありますか。
１００円玉と５０円玉が合わせて４５枚あり、その合計金額は３２５０円でした。１００円玉と５０円玉はそれぞれ何枚ありますか。
１００円玉を\(x\) 枚、 ５０円玉を\(y\) 枚とします。
合計枚数は\(x+y=45\) ……①
合計金額は\(100x+50y=3250\) ……②
②÷５０より
\(2x+y=65\) ……③
③−①より
\(x=20\) ……④
④を①に代入して
\(y=25\)
（答）１００円玉２０枚、 ５０円玉２５枚
(問3)
つると亀が合わせて１４匹います。足の本数の合計が３８本のとき、つると亀はそれぞれ何匹いますか。
つると亀が合わせて１４匹います。足の本数の合計が３８本のとき、つると亀はそれぞれ何匹いますか。
つるの数を\(x\) 、 亀の数を\(y\) とします。
\(x+y=14\) ……①
\(2x+4y=38\) ……②
①を②に代入して
\(2x+4\left( 14-x \right)=38 \)
\(2x+56-4x=38\)
\(2x=18\)
\(x=9\) ……③
③を①に代入して
\(9+y=14\)
\(y=5\)
（答）つるは９羽、亀は５匹
(問4)
ある学校の昨年の生徒数は、男女合わせて３８０人でした。今年は男子が５％増加し、女子が４％減少したので、全体の生徒数は１人増加しました。今年の男女それぞれの生徒数は何人ですか。
ある学校の昨年の生徒数は、男女合わせて３８０人でした。今年は男子が５％増加し、女子が４％減少したので、全体の生徒数は１人増加しました。今年の男女それぞれの生徒数は何人ですか。
昨年の男子の数を\(x\) 、 女子の数を\(y\) とします。
\(x+y=380\) ……①
\(1.05x+0.96y=381\) ……②
②×１００より\(105x+96y=38100\) ……③
①×９６より\(96x+96y=36480\) ……④
③−④より
\(9x=1620\)
\(x=180\) ……⑤
⑤を①に代入して
\(180+y=380\)
\(y=200\)
今年の男子は１８０×１．０５＝１８９（人）
今年の女子は２００×０．９６＝１９２（人）
（答）今年の男子の生徒数１８９人、今年の女子の生徒数１９２人
(問5)
５％の食塩水と１０％の食塩水を混ぜ合わせて、８％の食塩水を４００ｇ作ります。２種類の食塩水を、それぞれ何ｇずつ混ぜ合わせればいいでしょうか。
５％の食塩水と１０％の食塩水を混ぜ合わせて、８％の食塩水を４００ｇ作ります。２種類の食塩水を、それぞれ何ｇずつ混ぜ合わせればいいでしょうか。
５％の食塩水を\(x\) ｇ、 １０％の食塩水を\(y\) ｇとすると
\(x+y=400\) ……①
\(\dfrac {5} {100} x+\dfrac {10} {100} y=400\times \dfrac {8} {100} \) ……②
②より\(x+2y=640\) ……③
①を③に代入して
\(\left( 400-y \right)+2y=640 \)
\(y=240\) ……④
④を①に代入して
\(x+240=400\)
\(x=160\)
（答）５％の食塩水が１６０ｇ， １０％の食塩水が２４０ｇ
(問6)
Ａ地点から１０ｋｍ離れたＣ地点まで行くのに、Ａ地点から途中のＢ地点までは自転車で時速１２ｋｍで走り、Ｂ地点からＣ地点までは時速６ｋｍで歩いたところ、ちょうど１時間で到着しました。Ａ地点からＢ地点までの道のりと、Ｂ地点からＣ地点までの道のりはそれぞれ何ｋｍですか。
Ａ地点から１０ｋｍ離れたＣ地点まで行くのに、Ａ地点から途中のＢ地点までは自転車で時速１２ｋｍで走り、Ｂ地点からＣ地点までは時速６ｋｍで歩いたところ、ちょうど１時間で到着しました。Ａ地点からＢ地点までの道のりと、Ｂ地点からＣ地点までの道のりはそれぞれ何ｋｍですか。
Ａ地点からＢ地点までの道のりを\(x\) km、
Ｂ地点からＣ地点までの道のりを\(y\) kmとすると、
\(x+y=10\) ……①
\(\dfrac {x} {12} +\dfrac {y} {6} =1\) ……②
②より\(x+2y=12\) ……③
①を③に代入して
\(\left( 10-y \right)+2y=12 \)
\(y=2\) ……④
④を①に代入して
\(x+2＝10\)
\(x=8\)
（答）Ａ地点からＢ地点まで８ｋｍ，
Ｂ地点からＣ地点まで２ｋｍ
(問7)
長さ３１８ｍの貨物列車が、鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに、６７秒かかりました。また、長さ１６２ｍの急行列車が、貨物列車の２倍の速さでこの鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに、２７秒かかりました。貨物列車の速さと鉄橋の長さを求めてください。
長さ３１８ｍの貨物列車が、鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに、６７秒かかりました。また、長さ１６２ｍの急行列車が、貨物列車の２倍の速さでこの鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに、２７秒かかりました。貨物列車の速さと鉄橋の長さを求めてください。
鉄橋を渡り始めてから渡り終わるまでに列車が進む距離は、
（鉄橋の長さ）＋（列車の長さ）です。
貨物列車の長さを秒速\(x\) ｍ、 鉄橋の長さを\(y\) ｍとします。
貨物列車は、秒速\(x\) ｍで６７秒間に\(\left( y+318 \right)\) ｍ進むので
\(67x=y+318\) ……①
急行列車は、秒速\(2x\) ｍで２７秒間に\(\left( y+162 \right)\) ｍ進むので
\(54x=y+162\) ……②
①−②より
\(13x=156\)
\(x=12\) ……③
③を②に代入して
\(54\times 12=y+162\)
\(y=486\)
（答）貨物列車の速さ 秒速１２ｍ、 鉄橋の長さ ４８６ｍ
(問8)
ある中学校の２年生１１２人が、修学旅行に行くため、５人組の班と６人組の班を、全部で２０組になるようにつくることに５人組の班と６人組の班をそれぞれ何組にすればいいですか。
ある中学校の２年生１１２人が、修学旅行に行くため、５人組の班と６人組の班を、全部で２０組になるようにつくることに５人組の班と６人組の班をそれぞれ何組にすればいいですか。
５人の班の数を\(x\) 、 ６人の班の数を\(y\) とすると、
\(x+y=20\) ……①
\(5x+6y=112\) ……②
②−①×５より
\(y=12\) ……③
③を①に代入して
\(x+8=20\)
\(x=8\)
（答）５人組の班が８組、６人組の班が１２組
(問9)
弁当と飲み物の合計の値段は、定価７５０円です。弁当は定価の１０％引き、飲み物は定価の２０％引きで買ったので合計の値段は６６０円でした。弁当と飲み物の定価はそれぞれいくらですか。
弁当と飲み物の合計の値段は、定価７５０円です。弁当は定価の１０％引き、飲み物は定価の２０％引きで買ったので合計の値段は６６０円でした。弁当と飲み物の定価はそれぞれいくらですか。
弁当の定価を\(x\) 円、 飲み物の定価を\(y\) 円とすると、
\(x+y=750\) ……①
\(\left( 1-0.1 \right)x+\left( 1-0.2 \right)y=660 \) ……②
②×１０より
\(9x+8y=6600\) ……③
③−①×８より
\(x=600\) ……④
④を①に代入して
\(y=150\)
（答）弁当６００円、 飲み物１５０円
(問10)
３種類の商品Ａ、Ｂ、Ｃがあります。Ａ１個，Ｂ１個，Ｃ１個の値段は４７０円です。またＡ３個，Ｂ１個，Ｃ２個の値段は１１００円、Ａ１個，Ｂ２個，Ｃ３個の値段は８５０円です。Ａ，Ｂ，Ｃの値段はそれぞれいくらですか。
３種類の商品Ａ、Ｂ、Ｃがあります。Ａ１個，Ｂ１個，Ｃ１個の値段は４７０円です。またＡ３個，Ｂ１個，Ｃ２個の値段は１１００円、Ａ１個，Ｂ２個，Ｃ３個の値段は８５０円です。Ａ，Ｂ，Ｃの値段はそれぞれいくらですか。
Ａの値段を\(x\) 円、 Ｂの値段を\(y\) 円、 Ｃの値段を\(z\) 円とすると、
\(x+y+z=470\) ……①
\(3x+y+2z=1100\) ……②
\(x+2y+3z=850\) ……③
②−①より
\(2x+z=630\) ……④
①×２−③より
\(x-z=90\) ……⑤
④＋⑤より
\(3x=720\)
\(x＝240\) ……⑥
⑥を⑤に代入して
\(z=150\) ……⑦
⑥と⑦を①に代入して
\(y=80\)
（答）Ａは２４０円、Ｂは８０円、Ｃは１５０円
