解説
中学２年 ２章 連立方程式
１．連立方程式の解き方
【１】連立方程式とその解
たとえば、１５０円のジュースと１２０円の缶コーヒーを合わせて７本買ったところ、代金は９９０円でした。このときジュースと缶コーヒーの本数を求めてみます。
この問題のわからない値はジュースの本数と缶コーヒーの本数です。
そこでジュースの本数を\(x\) 本、 缶コーヒーの本数を\(y\) 本とおいてみます。
飲み物の本数について
\(x+y=7\) ……①
飲み物の代金について
\(150x+120y=990\) ……②
という２つの方程式が得られます。
①、②のように、２種類の未知数（文字）をふくむ１次方程式を２元１次方程式といいます。
そして２つの方程式を組にして、
\(x+y=7\) ……①
\(150x+120y=990\) ……②
として、①と②を同時に成り立たせるｘとｙの値が、飲み物の本数になります。
このように、２つの方程式を組み合わせたものを連立方程式といいます。またそれらの方程式を成り立たせる文字の値の組を、その連立方程式の解といい、解を求めることを、その連立方程式を解くといいます。
【２】連立方程式の解き方
連立方程式の解き方は主に代入法と加減法があります。問題によって使い分けた方が計算が簡単になるので、両方のやり方をしっかりマスターしてください。
①代入法
２つの式のうち、一方の式を他方の式に代入することによって文字を消去して解く方法が代入法です。
（例１）次の連立方程式を解きましょう。
\(3x+2y=23\) ……①
\(x+y=10\) ……②
②を変形して
\(y=10-x\) ……③
③を①に代入すると
\(3x+2\left( 10-x \right)=23 \)
\(3x+20-2x=23\)
\(x=3\)
これを③に代入して\(y=10-3=7\)
（答）\(x=3\) ,\(y=7\)
先ほどの飲み物の例題も代入法を利用して解きます。
\(x+y=7\) ……①
\(150x+120y=990\) ……②
①を変形して
\(x=7-y\) ……③
③を①に代入すると
\(150\left( 7-y \right)+120y=990 \)
\(1050-150y+120y=990\)
\(30y=60\)
\(y=2\)
これを③に代入して
\(x=7-2=5\)
（答）ジュース５本，缶コーヒー２本
②加減法
（例１）次の連立方程式を解きましょう。
３ｘ＋４ｙ＝６ ……①
７ｘ＋４ｙ＝−２ ……②
上の連立方程式では、①と②の式のｙの係数が等しいです。
このような場合は、①と②の両辺をそれぞれひいてｙを消去し、ｘだけの方程式をつくります。
その方程式を解きｘの解を求めたら、その値を①または②の式に代入しｙの値を求めます。
３ｘ＋４ｙ＝ ６
−） ７ｘ＋４ｙ＝−２
−４ｘ ＝ ８
ｘ＝−２ ……③
③を①に代入して、
３×（−２）＋４ｙ＝６
４y＝１２
ｙ＝３
（答）ｘ＝−２，ｙ＝３
上記が加減法の解き方です。別の問題も解いてみましょう。
（例２）次の連立方程式を解きましょう。
４ｘ−２ｙ＝１０ ……①
６ｘ＋４ｙ＝８ ……②
この連立方程式では、①の式の両辺に２をかけると、①の式のｙの係数と②の式のｙの係数の絶対値が等しくなります。
８ｘ−４ｙ＝２０ ……①×２
＋） ６ｘ＋４ｙ＝ ８
１４ｘ ＝２８
ｘ＝２ ……③
③を①に代入して、
２×２−ｙ＝５
ｙ＝−１
（答）ｘ＝２，ｙ＝−１
このように、どちらかの文字の係数の絶対値をそろえ、左辺どうし右辺どうしを足したりひいたりして、その文字を消去して解く方法が加減法です。
【３】いろいろな連立方程式
係数に分数や小数を含む連立方程式は、係数を整数になるよう変形してから解くと計算が簡単になります。
また、かっこを含む連立方程式はかっこをはずしてから計算するようにします。
（例１）次の連立方程式を解きましょう。
０．１ｘ＋０．２ｙ＝０．８ ……①
０．２ｘ−０．３ｙ＝０．９ ……②
①と②の両辺に１０をかけます
ｘ＋２ｙ＝８ ……③
２ｘ−３ｙ＝９ ……④
③を変形して ｘ＝８−２ｙ ……⑤
⑤を④に代入すると
２（８−２ｙ）−３ｙ＝９
１６−４ｙ−３ｙ＝９
７ｙ＝７
ｙ＝１ ……⑥
⑥を⑤に代入して
ｘ＝８−２×１＝６
（答）ｘ＝６，ｙ＝１
（例２）次の連立方程式を解きましょう。
１ ４ ｘ＋ ２ ３ ｙ＝−１ ……①
３ｘ＋２ｙ＝６ ……②
①×１２より ３ｘ＋８ｙ＝−１２ ……③
③−②
３ｘ＋８ｙ＝−１２
−） ３ｘ＋２ｙ＝ ６
６ｙ＝−１８
ｙ＝−３ ……④
④を②に代入して、
３ｘ＋２×（−３）＝６
ｘ＝４
（答）ｘ＝４，ｙ＝−３
（例３）次の連立方程式を解きましょう。
４（ｘ＋ｙ）−７ｙ＝−２５ ……①
５ｘ−３（ｘ−３ｙ）＝１９ ……②
①より ４ｘ−３ｙ＝−２５ ……③
②より ２ｘ＋９ｙ＝１９ ……④
④×２より ４ｘ＋１８ｙ＝３８ ……⑤
⑤−③
４ｘ＋１８ｙ＝ ３８
−） ４ｘ− ３ｙ＝−２５
２１ｙ＝６３
ｙ＝３ ……⑥
⑥を③に代入して
４ｘ−３×３＝−２５
４ｘ＝−１６
ｘ＝−４
（答）ｘ＝−４，ｙ＝３
【４】Ａ＝Ｂ＝Ｃの形の方程式
Ａ＝Ｂ＝Ｃの形の方程式の形の方程式は、Ａ＝Ｂ、Ｂ＝Ｃ、Ａ＝Ｃの３つの方程式が成り立ちます。
このうち２つを連立して、方程式を解いていきます。
どの組み合わせを利用してもいいので計算がなるべく簡単になる組み合わせを選びます。
（例１）次の連立方程式を解きましょう。
ｘ＋５＝３ｘ＋２ｙ−１＝２ｘ−３ｙ−６
ｘ＋５＝３ｘ＋２ｙ−１ ……①
３ｘ＋２ｙ−１＝２ｘ−３ｙ−６ ……②
①より ｘ＋ｙ＝３ ……③
②より ｘ＋５ｙ＝−５ ……④
④−③
ｘ＋ ｙ＝ ３
−） ｘ＋５ｙ＝−５
−４ｙ＝８
ｙ＝−２ ……⑤
⑤を③に代入して
ｘ＋（−２）＝３
ｘ＝５
（答）ｘ＝５，ｙ＝−２
【５】連立３元１次方程式
２ｘ＋ｙ＋ｚ＝７ ……①
ｘ−ｙ＋ｚ＝２ ……②
ｘ＋４ｙ−ｚ＝６ ……③
のように、３種類の未知数を含む連立方程式を連立３元１次方程式といいます。解き方は連立２元１次方程式と同じように代入法や加減法を利用して文字を一つ消去し、連立２元１次方程式にして解いていきます。
上の例題では
①−②でｚを消去し、
ｘ＋２ｙ＝５ ……④
②＋③でｚを消去し、
２ｘ＋３ｙ＝８ ……⑤
④×２−⑤
２ｘ＋４ｙ＝１０
−） ２ｘ＋３ｙ＝ ８
ｙ＝２ ……⑥
⑥を④に代入して
ｘ＋２×２＝５
ｘ＝１ ……⑦
⑥と⑦を①に代入して
２×１＋２＋ｚ＝７
ｚ＝３
（答）ｘ＝１，ｙ＝２，ｚ＝３
【６】比の等式を含む連立方程式
（例１）次の連立方程式を解きましょう。
（ｘ−２）：（ｙ＋３）＝３：２ ……①
３ｘ＋５ｙ＝１０ ……②
例１のように比の等式を含む連立方程式は、比の性質を用いて、普通の等式にしてから計算します。
※比の性質
ａ：ｂ＝ｃ：ｄ のとき ａｄ＝ｂｃ
例１では①を比の性質を利用して等式に直します。
２（ｘ−２）＝３（ｙ＋３）
２ｘ−３ｙ＝１３ ……③
②×２より
６ｘ＋１０ｙ＝２０ ……④
③×３より
６ｘ−９ｙ＝３９ ……⑤
④−⑤より
６ｘ＋１０ｙ＝２０
−） ６ｘ− ９ｙ＝３９
１９ｙ＝−１９
ｙ＝−１ ……⑥
⑥を③に代入して
２ｘ−３×（−１）＝１３
ｘ＝５
（答）ｘ＝５，ｙ＝−１
