解説

中学２年 ２章 連立方程式

２．連立方程式の利用

【１】連立方程式を利用した文章題の解法の手順
未知の値を２つ含む文章題を、連立方程式を利用して解いていきます。
文章題を考える手順は、１次方程式の文章題のときと同じです。

①問題をよく読み、わからない数量を\(x\)  ，\(y\)  などとおく。
②等しい数量の関係をみつけて、方程式を作る。
③方程式を解く。
④方程式の解が問題に適しているか確かめる。

【２】数の問題
 〔例〕
２けたの自然数Ｎがあります。Ｎの十の位の数と一の位の数の和は１３で、Ｎの十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる自然数は、Ｎより２７大きいです。自然数Ｎを求めましょう。

 〔解答〕
Ｎの十の位の数を\(x\)  ，一の位の数を\(y\)  とします。
Ｎの十の位の数と一の位の数の和は１３なので、
\(x+y=13\)  ……①

また、Ｎは\(10x+y\)  と表すことができ、Ｎの十の位の数字と一の位の数字をいれかえてできた自然数は、\(10y+x\)  と表すことができます。
この値がＮより２７大きいので、
\(10y+x=\left( 10x+y \right)+27 \)
\(9y=9x+27\)
\(y=x+3\)  ……②

②を①に代入して
\(x+\left( x+3 \right)=13 \)
\(2x=10\)
\(x=5\)  ……③
③を②に代入して
\(y=5+3=8\)

（答）５８

【３】個数と代金の問題
 〔例〕
１個１８０円のチョコと１個１５０円のアイスを、合わせて１５個買いにお店に行きました。ところが、チョコとアイスの個数を取り違えてしまい、予定の金額より９０円高くなってしまいました。最初チョコとアイスをそれぞれ何個ずつ買おうとしていましたか。

 〔解答〕
最初に買おうとしていたチョコを\(x\) 個、 アイスを\(y\) 個とします。
\(x+y=15\)  ……①
\(180y+150x=\left( 180x+150y \right)+90 \)  ……②

②より
\(-30x+30y＝90\)  ……③
③を30で割り
\(-x+y=3\)  ……④
①に④を代入して
\(x+\left( 3+x \right)=15 \)
\(2x=12\)
\(x=6\)  ……⑤
⑤に①を代入して
\(6+y=15\)
\(y=9\)

（答）チョコ６個，アイス９個

【４】道のり・時間・速さの問題
 〔例〕
Ａ地点から１６ｋｍ離れたＣ地点まで行くのに、途中のＢ地点までは時速３ｋｍで歩き、Ｂ地点からＣ地点までは時速４ｋｍで歩いたところ、４時間３０分かかりました。Ａ地点からＢ地点までの道のりと、Ｂ地点からＣ地点までの道のりをそれぞれ求めましょう。

 〔解答〕
ＡからＢの道のりを\(x\) km、 ＢからＣの道のりを\(y\) kmとすると
 \(x+y=16\)  ……①
\(\dfrac {x} {3} +\dfrac {y} {4} =4+\dfrac {30} {60} \)  ……②

②より
\(4x+3y=54\)  ……③
③−①×３より
\(x=6\)  ……④
①に④を代入して
\(y=10\)

（答）ＡからＢの道のりは６ｋｍ，ＢからＣの道のりは１０ｋｍ

【５】割合の問題
 〔例〕
８％の食塩水と１５％の食塩水を混ぜ合わせて、１０％の食塩水を７００ｇ作ります。２種類の食塩水を、それぞれ何ｇずつ混ぜ合わせればいいでしょうか。

 〔解答〕
８％の食塩水を\(x\) ｇ、１５％の食塩水を\(y\) ｇとすると
 \(x+y=700\)  ……①
\(\dfrac {8} {100} x+\dfrac {15} {100} y=700\times \dfrac {10} {100} \)  ……②

②より
\(8x+15y=7000\)  ……③
①を③に代入して
\(8x+15\left( 700-x \right)=7000 \)
\(8x+10500-15x=7000\)
\(7x=3500\)
\(x=500\)  ……④
④を①に代入して
\(500+y=700\)
\(y=200\)

（答）８％の食塩水が５００ｇ， １５％の食塩水が２００ｇ